Алгебра (теория множеств)

А́лгебрa мно́жеств в теории множеств — это непустая система подмножеств замкнутая относительно дополнения и объединения.

Определение

Семейство ${\mathfrak {A}}\subset 2^{X}$ подмножеств множества $X$ называется алгеброй если оно удовлетворяет следующим свойствам:

1. ${\mathfrak {A}}$ содержит пустое множество $\emptyset$.
2. Если $A\in {\mathfrak {A}}$ то и его дополнение $X\setminus A\in {\mathfrak {A}}.$
3. Объединение двух множеств $A,B\in {\mathfrak {A}}$ также принадлежит ${\mathfrak {A}}.$

Замечание

• В силу свойств операций над множествами алгебра множеств также замкнута относительно пересечения и симметрической разности.
• Алгебра множеств — это частный случай алгебры с единицей, где операцией «умножения» является пересечение множеств, а операцией «сложения» является симметрическая разность.
• Если исходное множество $X$ является пространством элементарных исходов, то алгебра ${\mathfrak {A}}$ называется а́лгеброй собы́тий.

См. также

• Сигма-алгебра

Эта статья содержит материал из статьи Алгебра (теория множеств) русской Википедии.