Математика
Advertisement

Алгебраи́ческое число́ над полем — элемент алгебраического замыкания поля , то есть корень многочлена с коэффициентами из .

Если поле не указывается, то предполагается поле рациональных чисел, то есть , в этом случае поле алгебраических чисел обычно обозначается . Поле является подполем поля комплексных чисел.

Эта статья посвящена именно этим «рациональным алгебраическим числам».

Связанные определения

  • Вещественное число, не являющееся алгебраическим, называется трансцендентным.
  • Целыми алгебраическими числами называются корни многочленов с целыми коэффициентами и со старшим коэффициентом единица.
  • Если — алгебраическое число, то среди всех многочленов с рациональными коэффициентами, имеющих своим корнем, существует единственный многочлен наименьшей степени со старшим коэффициентом, равным . Такой многочлен автоматически является неприводимым, он называется каноническим, или минимальным, многочленом алгебраического числа .
    • Степень канонического многочлена называется степенью алгебраического числа .
    • Другие корни канонического многочлена называются сопряжёнными к .
    • Высотой алгебраического числа называется наибольшая из абсолютных величин коэффициентов в неприводимом и примитивном многочлене с целыми коэффициентами, имеющем своим корнем.

Примеры

  • Рациональные числа, и только они, являются алгебраическими числами 1-й степени.
  • Мнимая единица так же как являются алгебраическими числами 2-й степени. Сопряжёнными к этим числам являются соответственно и .
  • При любом натуральном , является алгебраическим числом -й степени.

Свойства

  • Множество алгебраических чисел счётно (Теорема Кантора).
  • Множество алгебраических чисел плотно в комплексной плоскости.
  • Сумма, разность, произведение и частное двух алгебраических чисел (кроме деления на нуль) суть алгебраические числа, то есть множество всех алгебраических чисел образует поле.
  • Корень многочлена с алгебраическими коэффициентами есть алгебраическое число, то есть поле алгебраических чисел алгебраически замкнуто.
  • Для всякого алгебраического числа существует такое натуральное , что целое алгебраическое число.
  • Алгебраическое число степени имеет различных сопряжённых чисел (включая себя).
  • и сопряжены тогда и только тогда, когда существует автоморфизм поля , переводящий в .

История

Впервые алгебраические поля стал рассматривать Гаусс. При обосновании теории биквадратичных вычетов он развил арифметику целых гауссовых чисел, то есть чисел вида , где и целые числа. Далее, изучая теорию кубических вычетов, Якоби и Эйзенштейн (F. Eisenstein) создали арифметику чисел вида , где — кубический корень из единицы, а и — целые числа. В 1844 году Ж. Лиувилль доказал теорему о невозможности слишком хорошего приближения корней многочленов с рациональными коэффициентами рациональными дробями, и, как следствие, ввёл формальные понятия алгебраических и трансцендентных (т. е. всех прочих вещественных) чисел. Попытки доказать великую теорему Ферма привели Э. Куммера (Е. Kummer) к изучению полей деления круга, введению понятия идеала и созданию элементов теории алгебраических чисел. В работах Дирихле, Кронекера, Гильберта и других теория алгебраических чисел получила свое дальнейшее развитие. Большой вклад в неё внесли русские математики Е. И. Золотарев (теория идеалов), Г. Ф. Вороной (кубические иррациональности, единицы кубических полей), А. А. Марков (кубическое поле), Ю. В. Сохоцкий (теория идеалов) и другие.

Ссылки


Шаблон:Категория только в статьях

ar:عدد جبري bg:Алгебрично число bn:বীজগাণিতিক সংখ্যা cs:Algebraické číslo da:Algebraiske tal el:Αλγεβρικός αριθμός fa:عدد جبری gl:Número alxébrico he:מספר אלגברי hu:Algebrai szám nl:Algebraïsch getal nn:Algebraiske tal pl:Liczby algebraiczne sk:Algebrické číslo sr:Алгебарски број sv:Algebraiskt tal ta:இயற்கணித எண்களும் விஞ்சிய எண்களும் vi:Số đại số

Advertisement