Абсолютная величина

Файл:Absolute value.png

Абсолютная величина или модуль, вещественного числа x есть расстояние от x до нуля.

Более точно: абсолютная величина x есть неотрицательное число, обозначаемое |x|, определяемое следующим образом: если x ≥ 0, то |x|=x; если x < 0, то |x| = −x. Для абсолютной величины имеют место следующие соотношения:

• |a| ≥ 0
• |a| = 0 тогда и только тогда, когда a = 0.
• |ab| = |a||b|
• $|a^k| = |a|^k$ если $a^k$ определено.
• неравенство треугольника
  • |a+b| ≤ |a| + |b|   или
  • |a − b| ≥ ||a| − |b||

Альтернативные определения

• $|x|={\rm max}\,\{x,\,-x \}$, то есть модуль числа $\!x$ есть максимальное их двух чисел $\!x$ и $\!(-x)$,
• $|x| = \sqrt{x^2}$.

Абсолютная величина комплексного числа

Абсолютная величина или модуль комплексного числа z = x + iy (x и y — вещественные числа) — неотрицательное число (обозначаемое |z|), определяемое по формуле $|z| = \sqrt{x^2+y^2}$.

История

Считают, что термин предложил использовать Котс, ученик Ньютона. Знак модуля введен в 19 веке Вейерштрассом. Для комплексных чисел это понятие ввели Коши и Арган в 19 веке.

См. также

• Нормированное векторное пространство.

bg:Абсолютна стойност ca:Valor absolut cs:Absolutní hodnota eo:Absoluta valoro et:Absoluutväärtus fa:قدر مطلق (ریاضی) gl:Valor absoluto he:ערך מוחלט hu:Abszolútérték-függvény is:Algildi nl:Absolute waarde no:Absoluttverdi pl:Wartość bezwzględna sk:Absolútna hodnota sl:Absolutna vrednost sr:Апсолутна вредност sv:Absolutbelopp th:ค่าสัมบูรณ์ uk:Абсолютна величина vi:Giá trị tuyệt đối