Triedrul lui Frenet

Definiţii

Definiţia 1: Se numeşte plan osculator la curba $\Gamma \!$ în punctul M planul determinat de punctul M şi versorii $\vec \tau, \vec n$.

Remarcă: Se demonstrează că planul osculator este poziţia limită a unui plan care trece prin punctele $M, M_1, M_2 \!$ când $M_1, M_2 \!$ tind către (pe $\Gamma \!$) M.

Definiţia 2: Se numeşte plan rectifiant la curba $\Gamma \!$ în punctul M planul determinat de punctul M şi versorii $\vec \tau , \vec b$.

Definiţia 3: Se numeşte triedrul lui Frenet la curba $\Gamma \!$ în punctul M triedrul format din planul osculator, planul normal şi planul rectifiant în punctul M, precum şi din dreptele de intersecţie ale acestor plane: binormala, tangenta, normala principală.

Să presupunem acum că curba $\Gamma \!$ este dată parametric:

$\left\{ \begin{array}{lr} x= x(t) \\ y = y(t) t \in [a, b] \\ z= z (t) \end{array} \right.$

Ne propunem să aflăm ecuaţiile elementelor triedrului lui Frenet în funcţie de t.

Ecuaţiile tangenta şi planul normal sunt deja aflate.

Avem:

$\vec r = \frac {d \vec r}{ds} = \frac {\overline {r' (t)}}{\frac {ds}{dt}}$

$\frac{d \tau}{ds} = \frac {\left ( \frac {\overline {r'(t)}}{\frac {ds}{dt}} \right )'_t}{\frac {ds}{dt}}= \frac {\overline {r''(t)} \frac {ds}{dt} - \frac {d^2 s}{dt^2} \overline {r'(t)}}{(\frac {ds}{dt})^3}$

Din ultima egalitate şi prima formulă a lui Frenet rezultă că $\vec n \!$ este coplanar cu $\overline {r''(t)} \!$ şi $\overline {r'(t)} \!$, deci planul osculator este planul determinat de M, $\overline {r''(t)} \!$ şi $\overline {r'(t)} \!$, prin urmare ecuaţia sa este:

$\begin{vmatrix} X-x(t) & Y- y(t) & Z-z(t) \\ x'(t) & y'(t) & z'(t) \\ x''(t) & y''(t) & z''(t) \end{vmatrix} = 0$     (EPLO)

Din ecuaţia precedentă rezultă ecuaţiile binormalei, ca dreaptă perpendiculară pe planul osculator:

$\frac {X- x(t)}{\begin{vmatrix} y'(t) & z'(t) \\ y''(t) & z''(t) \end{vmatrix}}=\frac {Y-y(t)}{\begin{vmatrix} z'(t) & x'(t) \\ z''(t) & x''(t) \end{vmatrix}} =\frac {Z-z(t)}{\begin{vmatrix} x'(t) & y'(t) \\ x''(t) & y''(t) \end{vmatrix}}$     (EB)

Planul rectifiant are ca şi normală normala principală:

$\vec n = \vec b \times \vec \tau$

Din cele de mai sus rezultă că $\vec n \!$ este paralel cu:

$\left ( \overrightarrow {r'(t)} \times \overrightarrow {r''(t)} \right ) \times \overrightarrow {r'(t)} = \begin{vmatrix} \vec i & \vec j & \vec k \\ \begin{vmatrix} y'(t) & z'(t) \\ y''(t) & z''(t) \end{vmatrix} & \begin{vmatrix} z'(t) & x'(t) \\ z''(t) & x''(t) \end{vmatrix} & \begin{vmatrix} x'(t) & y'(t) \\ x''(t) & y''(t) \end{vmatrix} \\ x'(t) & y'(t) & z'(t) \end{vmatrix} =$

$=A \vec i + B \vec j + C \vec k$

Prin urmare, ecuaţia planului rectificant este:

$A(X-x(t)) + B(Y-y(t)) + C(Z-z(t)) = 0 \!$     (EPR))

Iar ecuaţiile normalei principale sunt:

$\frac {X-x(t)}{A} = \frac {Y-y(t)}{B} = \frac {Z-z(t)}{C}$     (ENP)

Triedrul lui Frenet

Fie $\Gamma: \; \vec r = \vec r (t) \!$ o curbă spaţială şi $M_{0}\in \Gamma \!$ un punct regulat şi neinflexinoar.

Definiţie Triedrul Frenet este un triedru mobil de vârf $M_0 \!$ format din trei plane care trec prin $M_0 \!$ şi care sunt ortogonale două câteva două.

Triedrul lui Frenet asociat unei curbe spaţiale

Elementele triedrului lui Frenet sunt:

• Muchiile triedrului Frenet sunt:

- Dreapta tangentă $T_{M_0} (\Gamma) \!$ dată de $(M_{0},{\vec {t}})$

- Dreapta normală principală $N_{M_0}(\Gamma) \!$ dată de $(M_{0},{\vec {n}}),\!$ fiind drepta de intersecţie dintre planul normal şi planul osculator.

- Dreapta binormală $B_{M_{0}}(\Gamma )\!$ dată de $(M_{0},{\vec {b}}),$ fiind dreapta perpendiculară pe planul osculator în punctul $M_0 \!$

• Feţele triedrului Frenet sunt:

- Planul osculator $P_{M_{0}}^{O}(\Gamma );\!$

- Planul normal $P_{M_{0}}^{n}(\Gamma );\!$

- Planul rectificator notat $P_{M_{0}}^{r}(\Gamma ),\!$ fiind planul perpendicular pe normală principală în punctul $M_0. \!$

Au loc următoarele relaţii:

• ${\vec {t}}={\dot {\vec {r}}}(t_{0})\!$ este vectorul director al dreptei tangente $T_{M_{0}}(\Gamma );\!$

• ${\vec {b}}={\dot {\vec {r}}}(t_{0})\times {\ddot {\vec {r}}}(t_{0})\!$ este vectorul director al dreptei binormale $B_{M_{0}}(\Gamma ),\!$ fiind vectorul normal planului osculator $P_{M_{0}}^{O}(\Gamma );\!$

• ${\vec {n}}={\vec {b}}\times {\vec {t}}\!$ este vectorul director al normalei principale $N_{M_{0}}(\Gamma ).\!$

Cunoscând vectorii directori ai muchiilor triedrului Frenet, putem deduce cu uşurinţă ecuaţiile planelor (feţelor) triedrului Frenet, după cum urmează:

• $P_{M_{0}}^{n}(\Gamma )\!$ este planul determinat de punctul $M_0 \!$ şi direcţia normală ${\vec {t}};\!$

• $P_{M_{0}}^{O}(\Gamma )\!$ este planul determinat de punctul $M_0 \!$ şi de direcţia normală ${\vec {b}};\!$

• $P_{M_{0}}^{r}(\Gamma )\!$ este planul determinat de punctul $M_0 \!$ şi de direcţia normală ${\vec {n}}.\!$

Dacă curba $\Gamma \!$ este dată prin ecuaţii parametrice $\Gamma :\;{\begin{cases}x=x(t)\\y=y(t)\\z=z(t)\end{cases}}\!$ şi $M_{0}(t_{0})\in \Gamma \!$ atunci:

$T_{M_{0}}(\Gamma ):\;{\frac {X-x(t_{0})}{{\dot {x}}(t_{0})}}={\frac {Y-y(t_{0})}{{\dot {y}}(t_{0})}}={\frac {Z-z(t_{0})}{{\dot {z}}(t_{0})}}\!$

$P_{M_{0}}^{n}(\Gamma ):\;{\dot {x}}(t_{0})\cdot [X-x(t_{0})]+{\dot {y}}(t_{0})\cdot [Y-y(t_{0})]+{\dot {z}}(t_{0})\cdot [Z-z(t_{0})]=0\!$

$B_{M_{0}}(\Gamma ):\;{\frac {X-x(t_{0})}{A}}={\frac {Y-y(t_{0})}{B}}={\frac {Z-z(t_{0})}{C}}\!$

$P_{M_{0}}^{O}:\;A\cdot [X-x(t_{0})]+B\cdot [Y-y(t_{0})]+C\cdot [Z-z(t_{0})]=0\!$

$N_{M_{0}}(\Gamma ):\;{\frac {X-x(t_{0})}{l}}={\frac {Y-y(t_{0})}{m}}={\frac {Z-z(t_{0})}{n}}\!$

$P_{M_{0}}^{r}:\;l\cdot [X-x(t_{0})]+m\cdot [Y-y(t_{0})]+n\cdot [Z-z(t_{0})]=0\!$

unde $A, B, C \!$ sunt componentele scalare ale vectorului

${\vec {b}}={\dot {\vec {r}}}(t_{0})\times {\ddot {\vec {r}}}(t_{0})={\begin{vmatrix}{\vec {i}}&{\vec {j}}&{\vec {k}}\\{\dot {x}}(t_{0})&{\dot {y}}(t_{0})&{\dot {z}}(t_{0})\\{\ddot {x}}(t_{0})&{\ddot {y}}(t_{0})&{\ddot {z}}(t_{0})\end{vmatrix}}\!$

iar $l,m,n\!$ sunt componentele scalare ale vectorului:

${\vec {n}}={\vec {b}}\times {\vec {t}}={\begin{vmatrix}{\vec {i}}&{\vec {j}}&{\vec {k}}\\A&B&C\\{\dot {x}}(t_{0})&{\dot {y}}(t_{0})&{\dot {z}}(t_{0})\end{vmatrix}}\!$

Reperul Frenet

Definiţie. Reperul Frenet este un reper ortonormat mobil, având originea în punctul $M_{0}\in \Gamma ,\!$ iar vectorii unitari sunt cei ce definesc direcţiile muchiilor triedrului Frenet: direcţia tangentei, direcţia normalei principale şi direcţia binormalei.

Notând cu ${\vec {t}}^{0}\!$ versorul tangentei, ${\vec {n}}^{0}\!$ versorul normalei principale şi cu ${\vec {b}}^{0}\!$ versorul binormalei, reperul lui Frenet poate fi scris astfel: ${\mathcal {R}}_{F}=\{M_{0};{\vec {t}}^{0},{\vec {n}}^{0},{\vec {b}}^{0}\}.\!$

Fie $M_{0}(t_{0})\in \Gamma \!$ un punct regular şi neinflexionar al curbei. Obţinem versorul tangentei:

${\vec {t}}^{0}={\frac {\vec {t}}{\|{\vec {t}}\|}}={\frac {{\dot {\vec {r}}}(t_{0})}{\|{\dot {\vec {r}}}(t_{0})\|}}={\frac {{\dot {x}}(t_{0}){\vec {i}}+{\dot {y}}(t_{0}){\vec {j}}+{\dot {z}}(t_{0}){\vec {k}}}{\sqrt {[{\dot {x}}(t_{0})]^{2}+[{\dot {y}}(t_{0})]^{2}+[{\dot {z}}(t_{0})]^{2}}}}=\left.{\frac {d{\vec {r}}}{ds}}\right|_{t_{0}}\!$

Versoru binormalei este:

${\vec {b}}^{0}={\frac {{\dot {\vec {r}}}(t_{0})\times {\ddot {\vec {r}}}(t_{0})}{\|{\dot {\vec {r}}}(t_{0})\times {\ddot {\vec {r}}}(t_{0})\|}}={\frac {A\cdot {\vec {i}}+B\cdot {\vec {j}}+C\cdot {\vec {k}}}{A^{2}+B^{2}+C^{2}}}\!$

Pentru a deduce formula versorului binormalei ${\vec {b}}^{0}\!$ în funcţie de derivatele cu s ale funcţiei $\vec r, \!$ vom utiliza următoarele relaţii:

$\|{\vec {t}}^{0}\|=\|{\frac {d{\vec {r}}}{ds}}\|\;\Rightarrow \;{\mathcal {h}}{\frac {d{\vec {r}}}{ds}},{\frac {d{\vec {r}}}{ds}}{\mathcal {i}}=1\;\Rightarrow \;{\mathcal {h}}{\frac {d{\vec {r}}}{ds}},{\frac {d^{2}{\vec {r}}}{ds^{2}}}{\mathcal {i}}=0\;\Rightarrow \;{\frac {d{\vec {r}}}{ds}}\perp {\frac {d^{2}{\vec {r}}}{ds^{2}}}\!$

${\dot {\vec {r}}}={\frac {d{\vec {r}}}{dt}}={\frac {d{\vec {r}}}{ds}}\cdot {\frac {ds}{dt}}\!$

${\ddot {\vec {r}}}={\frac {d}{dt}}{\dot {\vec {r}}}={\frac {d^{2}{\vec {r}}}{ds^{2}}}\cdot \left({\frac {ds}{dt}}\right)^{2}+{\frac {d{\vec {r}}}{ds}}\cdot {\frac {d^{2}s}{dt^{2}}}\!$

Din aceste relaţii rezultă că:

${\dot {\vec {r}}}\times {\ddot {\vec {r}}}=\left({\frac {ds}{dt}}\right)^{3}\cdot \left({\frac {d{\vec {r}}}{ds}}\times {\frac {d^{2}{\vec {r}}}{ds^{2}}}\right)\!$

deci:

${\vec {b}}^{0}={\frac {{\dot {\vec {r}}}(t_{0})\times {\ddot {\vec {r}}}(t_{0})}{\|{\dot {\vec {r}}}(t_{0})\times {\ddot {\vec {r}}}(t_{0})\|}}=\left.{\frac {{\frac {d{\vec {r}}}{ds}}\times {\frac {d^{2}{\vec {r}}}{ds^{2}}}}{\|{\frac {d{\vec {r}}}{ds}}\times {\frac {d^{2}{\vec {r}}}{ds^{2}}}\|}}\right|_{t_{0}}=\left.{\frac {{\frac {d{\vec {r}}}{ds}}\times {\frac {d^{2}{\vec {r}}}{ds^{2}}}}{\|{\frac {d^{2}{\vec {r}}}{ds^{2}}}\|}}\right|_{t_{0}}\!$

Versorul normalei principale este:

${\vec {n}}^{0}={\frac {\vec {n}}{\|{\vec {n}}\|}}={\frac {l\cdot {\vec {i}}+m\cdot {\vec {j}}+n\cdot {\vec {k}}}{\sqrt {l^{2}+m^{2}+n^{2}}}}=\left.{\frac {\frac {d^{2}{\vec {r}}}{ds^{2}}}{\|{\frac {d^{2}{\vec {r}}}{ds^{2}}}\|}}\right|_{t_{0}}\!$

Aplicaţie

Să determinăm triedrul lui Frenet al elicei de ecuaţii parametrice:

$x=a\cos t\!$

$y=a\sin t\;\;t\in \mathbb {R} \!$

$z=ht\!$

Rezolvare. Prin derivare se obţine:

${\vec {r}}'(t)=(-a\sin t){\vec {i}}+a\cos t{\vec {j}}+h{\vec {k}}.\!$

Ecuaţiile tangentei sunt:

$(T):\;{\frac {x-a\cos t}{-a\sin t}}={\frac {y-a\sin t}{a\cos t}}={\frac {z-ht}{h}}.\!$

Versorul $\vec \tau \!$ este dat de:

${\vec {\tau }}={\frac {{\vec {r}}'(t)}{\|{\vec {r}}'(t)\|}}={\frac {1}{\sqrt {a^{2}+h^{2}}}}(-a\sin t{\vec {i}}+a\cos t{\vec {j}}+h{\vec {k}}).\!$

Planul normal $(\Pi _{N}\perp {\vec {\tau }})\!$ are ecuaţia:

$\Pi _{N}:\;-a\sin t(x-a\cos t)+a\cos t(y-a\sin t)+h(z-ht)=0.\!$

Pentru versorul ${\vec {\beta }}\!$ se calculează ${\vec {r}}'(t)=(-a\cos t){\vec {i}}+(-a\sin t){\vec {j}}.\!$

Deci:

${\vec {r}}'\times {\vec {r}}''={\begin{vmatrix}{\vec {i}}&{\vec {j}}&{\vec {k}}\\-a\sin t&a\cos t&h\\-a\sin t&a\cos t&h\\-a\cos t&-a\sin t&0\end{vmatrix}}=ah\sin t{\vec {i}}-ah\cos t{\vec {j}}+a^{2}{\vec {k}}.\!$

În concluzie,

${\vec {\beta }}={\frac {{\vec {r}}'\times {\vec {r}}''}{\|{\vec {r}}'\times {\vec {r}}''\|}}={\frac {1}{\sqrt {a^{2}+h^{2}}}}(h\sin t{\vec {i}}-h\cos t{\vec {j}}+{\vec {k}}).\!$

Ecuaţiile binormalei (de direcţie ${\vec {\beta }}\!$) sunt:

$(B):\;{\frac {x-a\cos t}{h\sin t}}={\frac {y-a\sin t}{-h\cos t}}={\frac {z-ht}{a}}.\!$

Planul osculator $(\Pi _{O}\perp {\vec {\beta }})\!$ are ecuaţia:

$\Pi _{O}:\;h\sin t(x-a\cos t)-h\cos t(y-a\cos t)+a(z-ht)=0.\!$

Pentru versorul normalei principale ${\vec {\gamma }}={\vec {\beta }}\times {\vec {\tau }}\!$ se obţine:

${\vec {\gamma }}={\begin{vmatrix}{\vec {i}}&{\vec {j}}&{\vec {k}}\\{\frac {h\sin t}{\sqrt {h^{2}+a^{2}}}}&{\frac {-h\cos t}{\sqrt {h^{2}+a^{2}}}}&{\frac {a}{\sqrt {h^{2}+a^{2}}}}\\{\frac {-a\sin t}{\sqrt {h^{2}+a^{2}}}}&{\frac {a\cos t}{\sqrt {h^{2}+a^{2}}}}&{\frac {h}{\sqrt {h^{2}+a^{2}}}}\end{vmatrix}}=\cos t{\vec {i}}-\sin t{\vec {j}}.\!$

Ecuaţiile normalei principale (de direcţie ${\vec {\gamma }}\!$) sunt:

$N_{P}:\;{\frac {x-a\cos t}{\cos t}}={\frac {y-a\sin t}{-\sin t}}={\frac {z-ht}{0}}.\!$

Planul rectificant $(\Pi _{R}\perp {\vec {\gamma }})\!$ este de ecuaţie:

$\Pi _{R}:\;\cos t(x-a\cos t)-\sin t(y-a\sin t)=0.\!$

Resurse

• Geometrie superioară (p. 200, 220) (copie la Wikia)

Vezi şi

• Formulele lui Frenet