Definiţia 1: Se numeşte tangentă la curba în punctul M poziţia limită a dreptei determinată de punctele M şi M1 de pe curbă când punctul M1 tinde către M (dacă acea limită există).
Teoremă: Dacă funcţiile x, y, z sunt derivabile şi
atunci ecuaţia tangentei la curbă este (coordonatele unui punct de pe tangentă fiind notate X, Y, Z):
(ETPS)
Demonstraţie: Conform definiţiei derivatei unui vector şi a tangentei, dacă T aparţine tangentei (vezi figura precedentă) atunci vectorii şi sunt coliniari, deci coordonatele lor sunt proporţionale şi rezultă ecuaţia (ETPS).
Tangenta la o curbă plană[]
Definiţia 2.
Un punct corespunzător valorii se numeşte punct regulat al curbei dacă satisface condiţia
Observaţie
O curbă se zice regulată dacă toate punctele sale sunt regulate.
Fie un punct regulat al curbei şi vectorul de poziţie al punctului M în reperul iar un alt punct de pe curbă.
Dreapta determinată de punctele şi este o secantă pentru
Definiţia 3.
Tangenta la în punctul M este dreapta obţinută ca limită a poziţiilor secantelor când cel de-al doilea punct tinde spre primul punct pe
i.e. dreapta va intersecta curba în două puncte confundate.
Deoarece este vector director al secantei prin amplificare cu obţinem că este tot vector director al secantei
Trecând la limită, deducem că vectorul:
este vector director al tangentei
Scriem în continuare diferite reprezentări pentru ecuaţiile tangentei la curba într-un punct regulat al curbei:
Ecuaţia vectorială:
Ecuaţiile parametrice:
Ecuaţia carteziană:
sau unde este panta tangentei.
Observaţie.
Panta a tangentei se mai poate exprima astfel:
dacă curba este dată prin ecuaţia carteziană implicită atunci:
dacă curba este dată prin ecuaţia carateziană implicită atunci:
Exemplu:
Fie o curbă dată prin ecuaţia vectorială:
Ecuaţiile tangentei la curbă în punctul (adică ) sunt:
Ecuaţia vectorială: Deoarece pentru punctul obţinem:
Ecuaţiile parametrice:
Eliminând obţinem ecuaţia carteziană:
Definiţia 4.
Dreapta normală la curba în punctul notată este dreapta ortogonală în punctul pe tangenta la curbă în acel punct.
Ecuaţia normalei la curba în punctul se scrie punând condiţiile de perpendicularitate între tangentă şi normală: produsul dintre pantele celor două drepte să fie egal cu -1.
De aici, deducem că panta normalei este Ecuaţia carteziană a normalei este deci:
Tangenta la o curbă în spaţiu[]
Fie o curbă spaţială, şi dreapta tangentă la curba în punctul definită ca în cazul curbelor plane (vezi Definiţia 3).
Reprezentările tangentei la o curbă spaţială în punctul se obţin la fel ca şi în cazul curbelor plane:
ecuaţia vectorială:
ecuaţiile parametrice:
ecuaţiile carteziene se obţin din cele parametrice eliminând parametrul
Observaţii
1.
Dacă se cunosc ecuaţiile vectoriale sau parametrice ale curbei atunci vectorul director al tangentei la curbă este:
2.
Dacă se cunosc ecuaţiile carteziene explicite ale lui atunci făcând o parametrizare naturală obţinem vectorul director al tangentei:
3.
Dacă se cunosc ecuaţiile carteziene implicite ale curbei atunci prin diferenţiere avem:
Dreapta tangentă şi planul normal
Parametrii directori pentru tangenta sunt daţi de coeficienţii mărimilor obţinuţi prin dezvoltarea după prima linie a determinantului:
Notăm:
 
Astfel, vectorul director al tangentei la curba este:
iar ecuaţia tangentei se scrie în acest caz:
Definiţie.
Planul normal în punctul regulat la curba notat este planul ortogonal pe tangenta la curbă în punctul
Ecuaţia vectorială a planului normal este:
Explicitând vectorii care intervin în ecuaţia vectorială se obţine ecuaţia carteziană a planului normal:
echivalentă cu:
Observaţie.
Deoarece tangenta este perpendiculară pe planul normal în vectorul director al tangentei coincide cu vectorul normal al planului normal, astfel că, dacă se cunoaşte ecuaţia planului normal la curbă în punctul regulat
atunci ecuaţia tangentei la curbă în acelaşi punct este:
![{\displaystyle Y-y(t_{0})=k_{T}[X-x(t_{0})]\!}](https://services.fandom.com/mathoid-facade/v1/media/math/render/svg/cbd53289ad7a872b5b02c14e2cf13fb228f436f3)
![{\displaystyle N_{M_{0}}(\Gamma ):\;Y-y(t_{0})=k_{N}[X-x(t_{0})].\!}](https://services.fandom.com/mathoid-facade/v1/media/math/render/svg/69f4f1e9d9737788ed3559666c1c6fb0ffd78d83)
![{\displaystyle P_{M_{0}}^{n}(\Gamma ):\;[X-x(t_{0})]\cdot {\dot {x}}(t_{0})+[Y-y(t_{0})]\cdot {\dot {y}}(t_{0})+[Z-z(t_{0})]\cdot {\dot {z}}(t_{0})\!}](https://services.fandom.com/mathoid-facade/v1/media/math/render/svg/b039e08f53b31a549ec4c05ed65c23e50a4c86f1)
![{\displaystyle P_{M_{0}}^{n}(\Gamma ):\;[X-x(t_{0})]\left.{\frac {D(f,g)}{D(y,z)}}\right|_{M_{0}}+[Y-y(t_{0})]\left.{\frac {D(f,g)}{D(z,x)}}\right|_{M_{0}}+[Z-z(t_{0})]\left.{\frac {D(f,g)}{D(x,y)}}\right|_{M_{0}}=0.\!}](https://services.fandom.com/mathoid-facade/v1/media/math/render/svg/3dbf1d67d7f6ec4fba6d0571b97c14019c7def9c)
