Serie de puteri

Definiţie

O serie de funcţii de forma: $\sum_{n=1}^{\infty} a_n x^n, \; x \in \mathbb R^1 \!$ se numeşte serie de puteri. creat de 2114 SA TOP 5

Orice serie de puteri converge pentru $x=0. \!$

Mulţimea de convergenţă a unei serii de puteri

Teorema 1. [Abel-Cauchy-Hadamard.] Seria de puteri $\sum_{n=1}^{\infty} a_n x^n \!$ este absolut convergentă în orice punct x cu $|x|< R \!$ unde R este:

$R = \frac {1}{\omega} \!$	pentru $0 < \omega \le + \infty \!$
$R =+ \infty \!$	pentru $\omega =0 \!$

şi $\omega = \overline {\lim_{n \to \infty}} \sqrt[n] {|a_n|}. \!$

Seria de puteri este divergentă în orice punct x cu $|x| > R. \!$

Pentru orice $r \in (0, R) \!$ seria de puteri este uniform convergentă pe intervalul închis $[-r, r]. \!$

R se numeşte raza de convergenţă a seriei de puteri.