Serie Laurent

Fie $z_0\!$ un număr complex. Prin serie Laurent în jurul lui $z_0\!$ se înţelege o serie de forma:

$\sum_{n=- \infty}^{\infty} a_n (z-z_0)^n \!$   (1)

cu coeficienţii $a_n \!$ numere complexe. Aceasta mai poate fi scrisă sub forma:

$\cdots + \frac {a_{-2}}{(z-z_0)^2} + \frac {a_{-1}}{z-z_0} + a_0 + a_1(z-z_0) + a_2 (z-z_0)^2 + \cdots . \!$   (2)

Teorema 1 (Coroana de divergenţă) Fie seria Laurent:

$\sum_{n=- \infty}^{\infty} a_n (z-z_0)^n \!$

$r= \overline {\lim}_{n \to \infty} \sqrt[n] {|a_{-n}|} \!$

şi

$R= \begin{cases} 0 & daca \; \overline {\lim}_{n \to \infty} \sqrt[n]{|a_n|} = \infty \\ \frac {1}{\overline{\lim}_{n \to \infty} \sqrt[n]{|a_n|}} & daca \; \overline {\lim}_{n \to \infty} \sqrt[n]{|a_n|} \notin \{ 0, \infty \} \\ \infty & daca \; {\lim}_{n \to \infty} \sqrt[n]{|a_n|} =0 \end{cases}$

Dacă $r<R \!$ atunci:

a) În coroana circulară (numită coroana de convergenţă)

$\{ z \; | \; r< |z- z_0| < R \} \!$

seria Laurent converge absolut şi uniform pe compacte.

b) Seria Laurent diverge în $\{ z \; | \; |z-z_0 < r| \} \cup \{ z \; | \; |z-z_0 | > R \}. \!$

c) Suma seriei Laurent $S: D \rightarrow \mathbb C, \!$

$S(z) = \sum_{n=- \infty}^{\infty} a_n (z-z_0)^n = \sum_{n=1}^{\infty} a_{-n} (z-z_0)^{-n} + \sum_{n=0}^{\infty} a_n (z-z_0)^n \!$

este funcţie olomorfă.

Teorema 2 (Dezvoltarea în serie Laurent)

Dacă funcţia

$f: D = \{ z \; |\; r< |z-z_0|< R \} \rightarrow \mathbb C \!$

definită pe coroana D este olomorfă, atunci există o unică serie Laurent

$\sum_{n=- \infty}^{\infty} a_n (z-z_0)^n \!$

cu coroana de convergenţă incluzând pe D şi astfel încât

$f(z) = \sum_{n=- \infty}^{\infty} a_n (z-z_0)^n \!$   (3)

oricare ar fi $z \in D. \!$

Resurse

• Complemente de matematică (p. 59)
• Matematici speciale