Relația lui Chasles

A nu se confunda cu Teorema lui Chasles.

Pentru orice trei puncte din spaţiu A, B, C, avem:

$\overrightarrow {AB} +\overrightarrow {BC} =\overrightarrow {AC}. \!$ (formula lui Chasles)

Formulare echivalentă:

Trei vectori $\vec a, \vec b, \vec c \!$ formează un triunghi dacă şi numai dacă:

$\vec a + \vec b + \vec c=0. \!$

'Generalizare:

Pentru orice puncte $A_0, A_1, \ldots, A_n \in V_3 \!$ avem:

$\overrightarrow{A_0A_1} + \overrightarrow{A_1A_2} + \ldots + \overrightarrow{A_{n-1}A_n} = \overrightarrow{A_0A_n}. \!$

În particular, dacă $A_0 = A_n \!$ avem:

$\overrightarrow{A_0A_1} + \overrightarrow{A_1A_2} + \ldots + \overrightarrow{A_{n-1}A_0} = \vec 0. \!$

Propoziţie. Fie $\vec a, \vec b, \vec c \in V_3 \!$ astfel încât:

$\vec a + \vec b + \vec c=0. \!$

Atunci:

$\vec a \times \vec b = \vec b \times \vec c = \vec c \times \vec a. \!$

Demonstraţie:

$\vec a \times \vec b - \vec b \times \vec c= \vec a \times \vec b + \vec c \times \vec b= \!$

$= (\vec a + \vec c) \times \vec b= (- \vec b) \times \vec b=0. \!$