Un punct prin care o curbă plană trece de un număr m de ori este un punct multiplu al curbei, cu ordinul de multiplicitate m.
Coordonatele unui punct dublu al curbei plane (m=2) verifică simultan ecuaţia curbei şi fără a anula toate derivatele parţiale de ordinul doi ale funcţiei
Coordonatele unui punct multiplu de ordin m verifică simultan ecuaţia şi anulează toate derivatele parţiale până la ordinul m-1 inclusiv, fără a anula toate derivatele parţiale de ordinul m.
Pentru o curbă în spaţiu definită prin aplicaţia ale cărei componente sunt funţiile
definim punctul singular de ordinul q ca fiind acel punct care corespunde parametrului
pentru care toate derivatele de ordin k () ale funcţiilor sunt simultan nule, dar
Dacă vom considera două valori distincte ale parametrului t, din rezultă
Dar, din rezultă
Cubică unicursală
Considerăm cubica unicursală:
Dacă vom considera deducem .
Dacă vom considera , din obţinem:
Deci este un nod al curbei.
Puncte singulare ale curbelor plane[]
Fie c o curbă parametrizată definită astfel:
Condiţiile de regularitate pentru curba c sunt sintetizate prin următoarele:
i) c este o aplicaţie injectivă.
ii) şi
adică c este o curbă regulată dacă orice punct de pe curba c este regulat.
Avem regularitate de ordinul I dacă şi numai dacă
Pentru a avea regularitate de ordinul II se cere în plus
Definiţie.
Dacă există puncte pe curba c astfel încât condiţiile i) şi ii) nu sunt îndeplinite, atunci aceste puncte se numesc puncte singulare.
Punctele singulare, dacă există, corespund acelor valori ale parametrului real t care sunt soluţii ale sistemului:
În general acest sistem este incompatibil, dar vom analiza cazurile în care acest sistem are soluţii.
Fie o soluţie a sistemului de mai sus.
Rezultă că punctul este punct singular al curbei
Dacă se cunoaşte o reprezentare carteziană a curbei: atunci
Prin derivarea în raport cu se obţine:
de unde:
va reprezenta panta tangentei la curbă în punctul singular
Dar avem o nedeterminare de tipul ceea ce conduce la:
şi
Concluzie:
Pentru a afla coordonatele carteziene ale punctelor singulare este suficient să rezolvăm sistemul:
Sistemul are 3 ecuaţii şi 2 necunoscute, ceea ce înseamnă că este posibil ca el să nu aibă soluţii.
În acest caz, curba c nu are puncte singulare (toate punctele sunt regulate).
În caz de compatibilitate pot exista mai multe soluţii, ceea ce înseamnă că c are mai multe puncte singulare.
Natura punctelor singulare. Tangenta în punctele singulare[]
Fie un punct singular pentru curba
Ecuaţia tangentei în acest punct se scrie:
unde este panta tangentei.
Panta tangentei se poate exprima prin una din următoarele expresii:
dacă curba este dată prin ecuaţia carteziană explicită
dacă este dată prin ecuaţia carteziană implicită
Dacă este un punct singular, atunci: şi
În cazul în care curba este dată prin ecuaţia carteziană implicită, în condiţiile teoremei funcţiilor implicite, determinarea lui se face derivând în raport cu x, în punctul identitatea
Obţinem:
însă, nu putem rezolva această ecuaţie pentru a obţine deoarece în punctul derivatele şi se anulează.
În acest caz, derivăm de două ori relaţia şi obţinem:
Deoarece ultimul termen este identic nul, pentru determinarea lui rămâne să folosim ecuaţia:
Un punct singular este punct singular dublu, dacă în ecuaţia anterioară cel puţin unul dintre coeficienţii este nenul.
În raport cu natura rădăcinilor acestei ecuaţii, care depinde de valoarea discriminantului avem următoarea clasificare a punctelor singulare duble:
a. Punctul singular dublu se numeşte nod, dacă cu i.e. avem două tangente distincte la curbă în
b. Punctul singular dublu se numeşte punct de întoarcere, dacă cu i.e. avem două tangente nedistincte la curbă în
c. Punctul singular dublu se numeşte punct izolat, dacă cu i.e. nu avem tangente reale în (cele două tangente sunt imaginare).
![{\displaystyle [f_{1}^{(q)}(t_{0})]^{2}+[f_{2}^{(q)}(t_{0})]^{2}+[f_{3}^{(q)}(t_{0})]^{2}\neq 0.\!}](https://services.fandom.com/mathoid-facade/v1/media/math/render/svg/94f1d95e0d04601e260bb594411ef8d53faa24eb)
![{\displaystyle \Delta =4[(F''_{xy})^{2}-F''_{x^{2}}F''_{y^{2}}]_{(x_{0},y_{0})},\!}](https://services.fandom.com/mathoid-facade/v1/media/math/render/svg/b2b702f82b557c36ce74b7827a29a81e2fb92d67)
