Produs scalar

Produsul scalar a doi vectori este un scalar care verifică proprietăţile:

1) Comutativitate: $\vec u \cdot \vec v = \vec v \cdot \vec u. \!$

2) Asociativitate: $\vec u \cdot (\vec v + \vec w) = \vec u \cdot \vec v + \vec u \cdot \vec w. \!$

3) Liniaritate: $(\lambda \vec u ) \cdot \vec v = \vec u \cdot (\lambda \vec v) = \lambda (\vec u \cdot \vec v). \!$

4) Pozitivitate: $\vec u \cdot \vec u \ge 0 \!$ cu egalitate dacă şi numai dacă $\vec u = \vec 0 . \!$

Legătura dintre produs scalar şi unghiul dintre vectori:

$\vec u \cdot \vec v = u \cdot v \cdot \cos (\widehat {u, v}). \!$

Deci doi vectori sunt ortogonali dacă şi numai dacă produsul lor scalar este nul.

Modulul unui vector $\vec v\!$ este dat de:

$|\vec v| = \sqrt {\vec v \cdot \vec v} \!$

Aplicaţie în fizică:

Dacă o forță $\vec F \!$ deplasează un corp producându-i o deplasare $\vec d, \!$ atunci lucrul mecanic efectuat de forţă este:

$L =\vec F \cdot \vec d. \!$

Spațiu vectorial euclidian

(Vezi articolul: Spațiu vectorial euclidian)

Definiţia produsului scalar poate fi extinsă pentru orice spațiu vectorial astfel:

Definiţie. Fie A un spațiu vectorial pe $\mathbb R \!$ şi fie funcţia:

$f : A \times A \rightarrow \mathbb R. \!$

Spunem că f este un produs scalar dacă:

1. $f(u, v) = f(v, u), \; \forall u, v \in A. \!$

2. $f(u+v, w) = f(u, v) + f(u, w), \; \forall u, v, w \in A. \!$

3. $f(a \cdot u, v) = f(u, a \cdot v) = a f(u, v) , \; \forall a \in \mathbb R, \; \forall u, v \in A.\!$

4. $f(u, u) \ge 0, \!$ cu egalitate dacă şi numai dacă $u=0. \!$

Produsul scalar este o formă biliniară simetrică şi pozitivă.

Definiţie. Un spaţiu vectorial pe $\mathbb R \!$ înzestrat cu un produs scalar se numeşte:

• euclidian dacă are dimensiune finită.
• prehilbertian dacă are dimensiune infinită.

Exemplu: Dacă A este mulţimea polinoamelor, w o funcţie strict pozitivă pe un interval $[a, b], \!$ atunci definim un produs scalar pe A astfel:

$f(P, Q) = \int_a^b P(x)Q(x) w(x) dx. \!$

Acest exemplu indică modul de definire a polinoamelor ortogonale.

Vezi şi

• Produs vectorial

Resurse

• MathWords.com