Poligon

Poligonul [gr. polys "numeros", gonia "unghi"] este o figură geometrică plană formată de o linie frântă închisă. Poligoanele sunt denumite după numărul laturilor şi anume: triunghi (cu 3 laturi), patrulater (cu 4 laturi), pentagon (cu 5 laturi), hexagon (cu 6 laturi) etc.

Poligonul concav este poligonul la care dreptele determinate de unele laturi ale sale îl traversează.

Poligonul convex este poligonul având proprietatea de a fi în întregime situat de aceeaşi parte a dreptei determinate de oricare din laturile lui.

Aplicaţie

Se consideră un poligon regulat convex cu n laturi, având lungimea laturii a şi un punct P în interiorul poligonului. Dacă $d_{1},d_{2},\ldots ,d_{n}\!$ sunt distanţele de la P la laturile poligonului, să se arate că:

$\sum _{k=1}^{n}{\frac {1}{d_{k}}}>{\frac {2\pi }{a}}.\!$

Soluţie. Aria poligonului este:

$S={\frac {n\cdot l^{2}}{4\cdot \tan {\frac {\pi }{4}}}}\!$

şi, pe de altă parte:

$S=\sum _{k=1}^{n}{\frac {l\cdot d_{k}}{2}}.\!$

Se folosesc inegalitatea dintre media armonică şi aritmetică, precum şi faptul că:

$\tan x>x,\;\forall x\in {\bigg (}0,{\frac {\pi }{2}}.{\big )}\!$

Vezi şi

• Poligon regulat
• Poligon stelat
• Poliedru

Resurse

• Wolfram MathWorld
• The Geometry Center