Ortogonalitate

Fie $\mathbb R^n \!$ spaţiul vectorial n-dimensional. Spunem că vectorii $\vec x , \vec y \in \mathbb R^n \!$ sunt ortogonali dacă produsul scalar al acestora este nul.

Observaţie. Vectorul nul este ortogonal faţă de orice vector.

Deoarece:

$( \vec x + \vec y )^2 = \vec x^2 + 2 \vec x \cdot \vec y + \vec y^2 \!$

rezultă:

Teoremă. (Teorema lui Pitagora pentru spaţii vectoriale) Doi vectori $\vec x , \vec y \in \mathbb R^n \!$ sunt ortogonali dacă şi numai dacă:

$\| \vec x + \vec y \|^2 = \| \vec x \|^2 + \| \vec y \|^2. \!$

Definiţie. O familie de vectori $(\vec v_1, \vec v_2, \cdots , \vec v_d) \!$ se numeşte liberă dacă $\lambda_1 \vec v_1 + \lambda_2 \vec v_2 + \cdots + \lambda_n \vec v_d = \vec 0 \!$ implică $\lambda_1 = \lambda_2 = \cdots = \lambda_d=0. \!$

Teoremă. O familie liberă de vectori din $E \subset \mathbb R^n \!$ în care nu sunt toţi nuli şi care sunt ortogonali doi câte doi, este o familie liberă.

Demonstraţie. Considerăm scalarii $\lambda_1, \lambda_2, \cdots , \lambda_d \in \mathbb R \!$ şi combinaţia liniară:

$\lambda_1 \vec v_1 + \lambda_2 \vec v_2 + \cdots + \lambda_d \vec v_d = \sum_{i=1}^n \lambda_i \vec v_i. \!$

Presupunem că rezultatul este vectorul nul şi să înmulţim scalar suma cu vectorul $\vec v_i \!$ pentru i de la 1 la n. Utilizând biliniaritatea produsului scalar:

$0= \langle \vec v_i \; | \; \lambda_1 \vec v_1 + \lambda_2 \vec v_2 + \cdots + \lambda_d \vec v_d \rangle = \lambda_1 \langle v_i | v_1 \rangle + \lambda_2 \langle v_i | v_2 \rangle + \cdots + \lambda_d \langle v_i | v_d \rangle. \!$

Cum însă vectorul $\vec v_i \!$ este ortogonal faţă de toţi ceilalţi:

$0 = \langle \vec v_i | \lambda_1 \vec v_1 + \lambda_2 \vec v_2 + \cdots + \lambda_d \vec v_d \rangle = \lambda_i \langle \vec v_i | \vec v_i \rangle = \lambda_i \| \vec v_i \|^2. \!$

Dar $\vec v_i \!$ nu este vectorul nul, deci lungimea sa nu este nulă. Rezultă $\lambda_i =0 \!$

Vezi şi

• Polinom ortogonal

Resurse

• Math.Unice.fr