Număr prim

În alte limbi
* English

Un element din mulţimea numerelor naturale se numeşte număr prim dacă este mai mare strict decât 1 şi nu admite alţi divizor afară de 1 şi de el însuşi.

Teorema 1

Orice număr natural, mai mare decât 1, are cel puţin un divizor prim.

Demonstraţie.

Presupunem prin reducere la absurd că există un număr $n > 1 \!$ care nu are divizori primi. Notăm cu $\mathcal{S}$ mulţimea acestor numere pe care deci am presupus-o nevidă şi cum $\mathbb N \!$ este bine ordonată, există un cel mai mic element în $\mathcal{S}$ pe care îl notăm $n_0 \!$. Atunci $n_0 \!$ este număr compus, deci există $a, b \in \mathbb N \!$, cu $1< a, b < n_0 \!$ şi $n_0 = ab. \!$

Pentru a nu contrazice alegerea lui $n_0 \!$, avem $a \notin \mathcal S$, adică a are un divizor prim care va fi un divizor şi pentru $n_0 \!$, ceea ce contrazice faptul că $n_0 \in \mathcal S. \!$

Teorema 2

Dacă n este un număr compus, atunci are cel puţin un divizor prim mai mic strict decât $\sqrt n. \!$

Demonstraţie

Cum n este compus, fie $n=ab$ cu $1< a \le b < n.\!$ Dacă $a> \sqrt n, \!$ atunci $n= ab> n, \!$ ceea ce este fals. Deci $a< \sqrt n. \!$ Conform teoremei 1, a are un divizor prim. Deci n are un divizor prim $\le \sqrt n \!$

Vezi şi

• Divizibilitate

Resurse

• RecreatiiMatematice.ro
• Distribution of Prime Numbers
• Maths.tcd.ie: 1, 2, 3

Numere Complexe $\mathbb{C}$ Reale $\R$ Raţionale $\mathbb{Q}$ Întregi $\mathbb{Z}$ Naturale $\mathbb{N}$ Unu Prime Compuse Zero Negative Fracţionare Fracţie proprie Fracţie improprie Iraţionale Algebrice iraţionale Transcendente Imaginare