N
{\displaystyle \mathbb{N}}
Teorema 1 .
Există o unică operaţie algebrică pe
N
{\displaystyle \mathbb N \!}
+
{\displaystyle + \!}
adunarea numerelor naturale a.î. pentru orice
m
,
n
∈
N
{\displaystyle m, n \in \mathbb N \!}
A
1
:
0
+
m
=
m
{\displaystyle \mathbf{A_1}: \; 0+m=m \!}
A
2
:
s
(
n
)
+
m
=
s
(
m
+
n
)
.
{\displaystyle \mathbf{A_2}: \; s(n)+m=s(m+n). \!}
[ 1]
Demonstraţie .
Să probăm la început unicitatea şi pentru aceasta să presupunem că mai există o operaţie algebrică
⊕
{\displaystyle \oplus\!}
N
{\displaystyle \mathbb N \!}
A
1
{\displaystyle A_1 \!}
A
2
.
{\displaystyle A_2. \!}
Fie
P
=
{
n
∈
N
|
n
+
m
=
n
⊕
m
,
p
e
n
t
r
u
o
r
i
c
e
m
∈
N
}
⊆
N
.
{\displaystyle P = \{ n \in \mathbb N | \; n+m=n \oplus m, \; pentru \; orice \; m \in \mathbb N \} \subseteq \mathbb N.}
Din
A
1
{\displaystyle A_1 \!}
0
∈
P
{\displaystyle 0 \in P \!}
A
2
{\displaystyle A_2 \!}
n
∈
P
,
{\displaystyle n \in P, \!}
s
(
n
)
+
m
=
s
(
n
)
⊕
m
⇔
s
(
n
+
m
)
=
s
(
n
⊕
m
)
,
{\displaystyle s(n)+ m = s(n) \oplus m \; \; \Leftrightarrow \; \; s(n+m) = s (n \oplus m),}
ceea ce este adevărat deoarece s este injectivă şi am presupus că
n
∈
P
.
{\displaystyle n \in P. \!}
P
=
N
,
{\displaystyle P = \mathbb N,}
m
∈
N
{\displaystyle m \in \mathbb N \!}
(
N
,
m
,
s
)
.
{\displaystyle (\mathbb N, m, s). \!}
f
m
:
N
→
N
{\displaystyle f_m : \mathbb N \rightarrow \mathbb N \!}
f
m
(
0
)
=
m
{\displaystyle f_m(0)=m}
s
(
f
m
(
n
)
)
=
f
m
(
s
(
n
)
)
{\displaystyle s(f_m(n))= f_m(s(n))}
n
∈
N
.
{\displaystyle n \in \mathbb N. \!}
[ 2]
n
∈
N
{\displaystyle n \in \mathbb N \!}
n
+
m
=
f
m
(
n
)
.
{\displaystyle n+m= f_m(n). \!}
0
+
m
=
f
m
(
0
)
=
m
{\displaystyle 0+m=f_m(0)=m \!}
s
(
n
)
+
m
=
f
m
(
s
(
n
)
)
=
s
(
f
m
(
n
)
)
=
s
(
n
+
m
)
.
{\displaystyle s(n)+m=f_m(s(n)) = s(f_m(n)) = s(n+m). \!}
QED .
Observaţie .
Axiomele
A
1
−
A
2
{\displaystyle A_1 - A_2 \!}
axiomele adunării numerelor naturale .
Propoziţia 1 .
Pentru orice
m
,
n
∈
N
{\displaystyle m, n \in \mathbb N \!}
A
1
0
:
m
+
0
=
m
{\displaystyle A_1^0: \; m+0=m}
A
2
0
:
n
+
s
(
m
)
=
s
(
n
+
m
)
.
{\displaystyle A_2^0: \; n+s(m)=s(n+m).}
Demonstraţie
Fie
P
=
{
m
∈
N
:
m
+
0
=
m
}
⊆
N
.
{\displaystyle P = \{ m \in \mathbb N : \; m+0=m \} \subseteq \mathbb N. \!}
A
1
{\displaystyle A_1 \!}
m
=
0
,
{\displaystyle m=0, \!}
0
+
0
=
0
,
{\displaystyle 0+0=0, \!}
0
∈
P
.
{\displaystyle 0 \in P.}
m
∈
P
,
{\displaystyle m \in P, \!}
m
+
0
=
m
{\displaystyle m+0 = m \!}
s
(
m
)
+
0
=
s
(
m
+
0
)
=
s
(
m
)
,
{\displaystyle s(m) + 0 = s(m+0) = s(m), \!}
s
(
m
)
∈
P
,
{\displaystyle s(m) \in P, \!}
P
=
N
.
{\displaystyle P =\mathbb{N}. \!}
QED .
Propoziţia 2 .
Dubletul
(
N
,
+
)
{\displaystyle (\mathbb N, +) \!}
Demonstraţie .
Din cele stabilite anterior, deducem că
0
{\displaystyle 0 \!}
Pentru a proba comutativitatea adunării, să considerăm:
P
=
{
n
∈
N
:
n
+
m
=
m
+
n
p
e
n
t
r
u
o
r
i
c
e
m
∈
N
}
⊆
N
.
{\displaystyle P= \{ n \in \mathbb N \; : \; n+m=m+n \; pentru \; orice \; m \in \mathbb N \} \subseteq \mathbb N. \!}
Evident
0
∈
P
.
{\displaystyle 0 \in P. \!}
n
∈
P
,
{\displaystyle n \in P, \!}
n
+
m
=
m
+
n
{\displaystyle n+m=m+n \!}
m
∈
N
,
{\displaystyle m \in \mathbb N, \!}
s
(
n
)
+
m
=
m
+
s
(
n
)
⇔
s
(
n
+
m
)
=
s
(
m
+
n
)
⇔
n
+
m
=
m
+
n
,
{\displaystyle s(n) + m = m+ s(n) \; \Leftrightarrow \; s(n+m) = s(m+n) \; \Leftrightarrow \; n+m=m+n, \!}
s este injecţie).
Deducem că
P
=
N
,
{\displaystyle P = \mathbb N, \!}
P
=
{
n
∈
N
:
(
n
+
m
)
+
p
=
n
+
(
m
+
p
)
p
e
n
t
r
u
o
r
i
c
e
m
,
p
∈
N
}
⊆
N
.
{\displaystyle P= \{ n \in \mathbb N \; : \; (n+m)+p=n+(m+p) \; pentru \; orice \; m, p \in \mathbb N \} \subseteq \mathbb N. \!}
Evident,
0
∈
P
.
{\displaystyle 0 \in P. \!}
n
∈
P
.
{\displaystyle n \in P. \!}
(
s
(
n
)
+
m
)
+
p
=
s
(
n
+
m
)
+
p
=
s
(
(
n
+
m
)
+
p
)
{\displaystyle (s(n) + m) + p = s(n+m) + p = s((n+m) +p) \!}
s
(
n
)
+
(
m
+
p
)
=
s
(
n
+
(
m
+
p
)
)
{\displaystyle s(n)+ (m+p) = s(n+(m+p)) \!}
(
n
+
m
)
+
p
=
n
+
(
m
+
p
)
{\displaystyle (n+m) + p= n+(m+p) \!}
s
(
n
)
∈
P
,
{\displaystyle s(n) \in P, \!}
P
=
N
.
{\displaystyle P =\mathbb{N}. \!}
Pentru partea finală fie:
P
=
{
p
∈
N
:
d
a
c
a
m
+
p
=
n
+
p
⇔
m
=
n
}
⊆
N
.
{\displaystyle P = \{ p \in \mathbb N \; : \; daca \; m+p=n+p \; \Leftrightarrow \; m=n \} \subseteq \mathbb N. \!}
Evident
0
∈
P
{\displaystyle 0 \in P \!}
p
∈
P
.
{\displaystyle p \in P. \!}
m
+
s
(
p
)
=
n
+
s
(
p
)
⇔
s
(
m
+
p
)
=
s
(
n
+
p
)
⇔
m
+
p
=
n
+
p
⇔
m
=
n
{\displaystyle m+ s(p) = n+ s(p) \; \Leftrightarrow \; s(m+p) = s(n+p) \; \Leftrightarrow \; m+p=n+p \; \Leftrightarrow \; m=n \!}
p
∈
P
{\displaystyle p \in P \!}
s
(
p
∈
P
)
{\displaystyle s(p \in P) \!}
P
=
N
.
{\displaystyle P =\mathbb{N}. \!}
QED .
Note [ ]
↑ Prin
s
(
n
)
{\displaystyle s(n) \!}
numărului natural n .
↑ Conform unei teoreme de la mulţimea numerelor naturale care susţine că dacă
(
N
,
0
,
s
)
{\displaystyle (\mathbf N, 0, s) \!}
(
N
′
,
0
′
,
s
′
)
{\displaystyle (\mathbf N', 0', s')}
N
′
,
{\displaystyle \mathbf N', \!}
0
′
∈
N
′
{\displaystyle 0' \in \mathbf N' \!}
s
′
:
N
′
→
N
′
,
{\displaystyle s' : \mathbf N' \rightarrow \mathbf N', \!}
f
:
N
→
N
′
{\displaystyle f: \mathbf N \rightarrow \mathbf N' \!}
f
(
0
)
=
0
′
{\displaystyle f(0)= 0' \!}
f
∘
s
=
s
′
∘
f
.
{\displaystyle f \circ s = s' \circ f. \!}
(
N
′
,
0
′
,
s
′
)
{\displaystyle (\mathbf N', 0', s') \!}
f este bijecţie.
Resurse [ ] Vezi şi [ ]
Numere
Complexe
C
{\displaystyle \mathbb{C}}
Reale
R
{\displaystyle \R}
Raţionale
Q
{\displaystyle \mathbb{Q}}
Întregi
Z
{\displaystyle \mathbb{Z}}
Naturale
N
{\displaystyle \mathbb{N}}
Zero
Negative
Fracţionare
Fracţie proprie
Fracţie improprie
Imaginare
