Soluţia ecuaţiei considerate este numărul raţional care se poate reprezenta folosind oricare dintre fracţiile echivalente:
Fiecare număr întreg n se identifică cu numărul raţional pentru care fracţia este reprezentant.
Mulţimea numerelor raţionale devine în acest caz o extensie a mulţimii numerelor întregi
În afară de reprezentarea sub formă de fracţie, pentru fiecare număr raţional se utilizează reprezentarea sub formă de fracţie zecimală obţinută prin efectuarea împărţirii numărătorului la numitor.
De exemplu,
Deoarece în cazul numărului pe parcursul efectuării împărţirii lui n la k singurele resturi posibile sunt rezultă că în cazul reprezentării unui număr raţional sub formă de fracţie zecimală pot apărea doar fracţiile zecimale finite, cele periodice şi cele periodice mixte,
Se poate constata că, de exemplu, fracţiile 0,5 şi 0,4(9) reprezintă acelaşi număr raţional:
Pentru ca reprezentarea numerelor raţionale sub formă de fracţie zecimală să fie unică este suficient să eliminăm fracţiile zecimale cu perioada 9.
Ecuaţia:
nu admite soluţie în dar admite soluţiile în mulţimea numerelor reale.
care este o extindere a mulţimi numerelor raţionale.
Se ştie că în cazul ecuaţia de gradul al doilea ()
admite sloluţiile reale
şi că în cazul ecuaţia considerată nu admite rădăcini reale.
Admiţând că în afară de numerele reale există un "număr imaginar" i astfel încât
ecuaţia considerată admite în cazul soluţiile
aparţinând mulţimii numerelor complexe:
Mulţimea reprezintă o extindere a mulţimii numerlor reale fiecare număr real x putând fi identificat în mod natural cu numărul complex
Avem astfel relaţia
Mulţimea numerelor complexe considerată împreună cu operaţiile de adunare a numerelor complexe
şi de înmulţire cu un un număr real
este un spaţiu vectorial de dimensiune 2.
Scrierea unui număr complex sub forma reprezintă dezvoltarea lui în raport cu baza
Aplicaţia
este un izomorfism care permite identificarea celor două spaţii vectoriale.
Relaţia permite definirea unei operaţii suplimentare pe fără analog în
numită înmulţirea numerelor complexe.
Mulţimea considerată împreună cu operaţiile de adunare şi înmulţire a numerelor complexe este un corp comutativ.
În particular, fiecare număr complex nenul admite un invers:
Definiţia 1.
Fie un număr complex.
Numărul se numeşte parte reală a lui z.
Numărul se numeşte parte imaginară a lui z.
Numărul se numeşte conjugatul lui z.
Numărul se numeşte modulul lui z.
Propoziţia 1.
Relaţiile
au loc oricare ar fi numerele complexe şi
Demonstraţie.
Relaţiile rezultă direct din definiţia anterioară.
Propoziţia 2.
Oricare ar fi numărul complex avem
adică
Demonstraţie.
Avem
iar relaţia
este echivalentă cu relaţia evident adevărată
QED.
Propoziţia 3
Aplicaţia modul
este o normă pe spaţiul vectorial real iar
este distanţa asociată.
Demonstraţie.
Oricare ar fi numărul complex avem
şi
Dacă este un număr real atunci:
Oricare ar fi numerele şi avem relaţia:
din care rezultă că
QED.
Observaţia 1.
Dacă considerăm înzestrat cu norma uzuală
atunci
ceea ce arată că aplicaţia liniară
este un izomorfism de spaţii vectoriale normate care permite identificarea spaţiilor normate şi
Dacă se are în vedere doar structura de spaţiu vectorial normat, spaţiile şi diferă doar prin notaţiile utilizate.
Distanţa
dintre două numere şi în planul complex corespunde distanţei dintre punctele corespunzătoare din planul euclidian:
Observaţia 2.
distanţa în planul complex între şi
distanţa în planul complex între şi origine.
Fie fixat şi
Mulţimea
se numeşte discul (deschis) de centru a şi rază r.
Definiţia 5.
Spunem că o mulţime este mărginită dacă există şi astfel încât
Exerciţiul 1.
Mulţimea M este mărginită dacă şi numai dacă există astfel încât oricare ar fi
Definiţia 6.
O mulţime este numită mulţime deschisă dacă oricare ar fi există astfel încât
Spunem despre o mulţime că este închisă dacă mulţimea este deschisă.
