Melcul lui Pascal

Fig. 1

Definiţie şi construcţie

Fie date cercul $C \left (K, \frac {OB}{2}= \frac a 2 \right ) \!$ şi un segment de lungime l (fig. 1). Ducem prin O o dreaptă arbitrară care intersectează a doua oară cercul în P. Cu ajutorul compasului construim pe dreapta OP punctele $M_1 \!$ şi $M_2 \!$ de o parte şi de alta a lui P astfel încât:

$PM_1 = PM_2 = l. \!$

Locul geometric al punctelor $M_1 \!$ şi $M_2 \!$ când dreapta OP variază este melcul lui Pascal.

Observaţie. Melcul lui Pascal este o concoidă generalizată.

Cazul 1.

$\frac l a < 1 \!$ (curba 1: $\frac l a = \frac 1 3 \!$) melcul se intersectează pe el însuşi în nodul O formând două bucle - o buclă exterioară $(OHA_1GO) \!$ şi o buclă interioară $(OH'C_1G'O). \!$

Construcţia tangentelor: Construim în cercul K corzile OD şi OE de lungime l.

Cazul 2.

$\frac l a =1 \!$ (curba 2) curba interioară se restrânge la polul O care devine punct de întoarcere. Curba se numeşte în acest caz cardioidă.

Cazul 3.

$l< \frac l a < 2 \!$ (curba 3: $\frac l a = \frac 4 3 \!$) Melcul lui Pascal este o curbă închisă care nu se autointersectează. Polul este situat în interiorul curbei la distanţă de aceasta. Curba nu are puncte de întoarcere dar are două puncte de inflexiune: R şi Q. Atunci când $\frac l a \!$ creşte de la 1 la $\sqrt 2, \!$ creşte ş unghiul $\angle {ROQ} \!$ de la 0 la $2 arccos \frac{2 \sqrt 2}{3} (\approx 39^{\circ} 40'). \!$ Peste acestă valoare, pentru $\frac l a \!$ tinzând la 2 , măsura unghiului $\angle {ROQ} \!$ tinde la 0.

Cazul 4.

$\frac l a =2 \!$ punctele de inflexiune se anulează confundându-se cu vârful C. Melcul ia o formă ovală şi păstrează această formă pentru orice valoare a raportului $\frac l a > 2 \!$ (curba 4: $\frac l a = \frac 7 3 \!$). Punctele $L'' \!$ şi $N'' \!$ care sunt situate cel mai departe de axă sunt asociate valorii $\cos \varphi = \frac {\sqrt {l^2 + 8 a^2} - l}{4a}. \!$

Caracteristici ale curbei

Punctul O se numeşte pol. Cercul se numeşte cerc de bază. OB este axă de simetrie. Axa melcului intersectează melcul în punctul O dacă acesta aparţine melcului şi în două puncte A şi C numite vârfuri. Forma curbei depinde de relaţia dintre segmentele $OB=a \!$ şi $AB=BC=l. \!$

Ecuaţia curbei

Ecuaţia în coordonate carteziene

Ecuaţia melcului lui Pascal în coordonate carteziene este următoarea:

$(x^2+ y^2-ax)^2 = l^2 (x^2 + y^2). \!$   (1)

Ecuaţia reprezintă figura formată din melcul lui Pascal şi polul O, ce poate să aparţină locului geometric definit mai sus (cazul curbelor 3 şi 4).

Demonstraţie. Pentru a obţine ecuaţia melcului lui Pascal considerăm ecuaţia cercului $C \left ( K, \frac {OB}{2}=\frac a 2 \right ): \!$

$(x- \frac a 2)^2 + y^2 = \frac{a^2}{4} \!$   (2)

Punctele $M_1 \!$ şi $M_2 \!$ verifică ecuația polară $\rho = a \cos \varphi + 1 \!$ astfel încât avem formulele:

$x= \frac a 2 + \frac a 2 \cos 2 \varphi + l \cos \varphi \!$   (3)

$y = \frac a 2 \sin 2 \varphi + l \sin \varphi. \!$   (4)

Din (3) rezultă:

$x- \frac a 2 = \frac a 2 \cos 2 \varphi + l \cos \varphi. \!$

Înlocuind (4) şi (5) în (2), obţinem:

$(x^2 + y^2 -ax) = l(a \cos \varphi +l) = l \rho \!$

Ridicând la pătrat, obţinem ecuaţia melcului lui Pascal:

$(x^2+ y^2-ax)^2 = l^2 (x^2 + y^2). \!$

Ecuaţia în coordonate polare

Ecuaţia în coordonate polare este:

$\rho = a \cos \varphi + l. \!$

Observaţie Ecuaţia reprezintă figura ce conţine numai punctele ce satisfac definiţia melcului lui Pascal. Având în vedere sistemul de ecuaţii de schimbare a [[coordonate carteziene|coordonatelor carteziene în coordonate polare şi ecuaţia (1), obţinem:

$(\rho^2 \cos^2 \varphi + \rho^2 \sin^2 \varphi - a \rho \cos \varphi)^2 = l^2 (\rho^2 \cos^2 \varphi + \rho^2 \sin^2 \varphi) \; \Leftrightarrow \; (\rho- a \cos \varphi)^2 = l^2, \!$

relaţie care conduce la ecuaţia curbei în coordonate polare.

Fig. 2

Ecuaţiile parametrice

Ecuațiile parametrice ale curbei sunt:

$\begin{cases} x= a \cos^2 \varphi + l \cos \varphi \\ y = a \sin \varphi \cos \varphi + \sin \varphi \end{cases} \!$

sau echivalent:

$\begin{cases} x= \frac {1-u^2}{(1+u^2)^2} \left [ (l+a) + u^2 (l-a) \right ] \\ y = \frac {2u}{(1+u^2)^2} \left [ (l+a) + u^2 (l-a) \right ] \\ u = \tan \frac {\varphi}{2}. \end{cases} \!$

Observaţie. Melcul lui Pascal este o curbă raţională.

Construcţia tangentei (Metoda II)

Fig. 3

Construim perpendiculara TM în M pe normala NM. TM este tangenta căutată (fig. 3).

Construcţia normalei

Fie M un punct al curbei. Dreapta MO intersectează cercul a doua oară într-un punct P (fig. 3). Fie N punctul diametral opus lui P. Dreapta NM este normala căutată.

Relaţia cu cercul

Locul geometric al picioarelor perpendicularelor duse dintr-un punct O la tangentele unui cerc $C(B, r) \!$ este melcul lui Pascal. Dacă O este situat în planul cercului atunci O este polul curbei, cercul de bază are ca diametru segmentul $OB=a \!$ iar segmentul de lungime l este egal cu raza r a cercului. Dacă punctul O aparţine cercului, melcul lui Pascal devine cardioidă.

Lungimi şi arii

a) Lungimea cardioidei este de 8 ori mai mare ca lungimea diametrului cercului de bază:

$s= \int_{-\pi}^{\pi} \sqrt {\rho^2 + \rho'^2} d \varphi =\int_{-\pi}^{\pi} \sqrt {4a^2 (1+ \cos \varphi)^2 +4a^2 \sin^2 \varphi} d \varphi = \!$

$= 2a \int_{-\pi}^{\pi} \sqrt {2(1 + \cos \varphi)} d \varphi= 4a \int_{-\pi}^{\pi} \cos \frac {\varphi}{2} d \varphi = 16 a. \!$

b) Aria descrisă de raza melcului într-o mişcare de rotaţie completă este următoarea:

$S = \left ( \frac 1 2 a^2 + l^2 \right ) \pi. \!$

Având în vedere simetria curbei faţă de axa Ox este suficient să calculăm jumătate din aria căutată. Astfel avem:

$S_1 = \frac 1 2 \int_0^{\pi} \rho^2 d \varphi = \frac 1 2 \int_0^{\pi} (a \cos \varphi +1)^2 d \varphi = \frac 1 2 \int_0^{\pi} (a^2 \cos^2 \varphi + 2al \cos \varphi + l^2) d \varphi = \!$

$= \frac 1 2 \left ( a^2 \frac 1 2 \int_0^{\pi} \cos^2 \varphi d \varphi + 2al \frac 1 2 \int_0^{\pi} \cos \varphi d \varphi + l^2 \frac 1 2 \int_0^{\pi} d \varphi \right ). \!$

Deci aria descrisă de raza melcului într-o mişcare de rotaţie completă este:

$2S_1 = a^2 \left (\left. \frac {\varphi}{2} \right |_0^{\pi} - \left. \frac{\sin 2 \varphi}{4} \right |_0^{\pi} \right ) +2 al \sin \varphi |_0^{\pi} + l^2 |_0^{\pi} = \frac{a^2 \pi}{2} + l^2 \pi. \!$

În absenţa buclei $(l \ge a), \!$ S reprezintă aria mărginită de melc. În cazul existenţei buclei are loc ecuaţia $S = S_1 + S_2 \!$ unde $S_1 \!$ şi $S_2 \!$ sunt date de expresiile:

$S_1 = \left ( \frac 1 2 a^2 + l^2 \right ) \varphi + \frac 3 2 l \sqrt {a^2- l^2}, \!$

unde $\varphi_1 = arccos \left ( - \frac l a \right ); \!$

$S_2 = \left (\frac 1 2 a^2 + l^2 \right ) \varphi_2 - \frac 3 2 \sqrt {a^2-l^2}. \!$

unde $\varphi_2 = arccos \left ( \frac l a \right ). \!$

$S'_1 = \frac 1 2 \int_0^{arccos \left ( -\frac l a \right )} (a \cos \varphi +l)^2 d \varphi = \!$

$= \frac 12 \int_0^{arccos \left ( -\frac l a \right )} (a^2 \cos^2 \varphi +2 al \cos \varphi + l^2) d \varphi = \frac 1 2 a^2 \int_0^{arccos \left ( -\frac l a \right )} \cos^2 \varphi d \varphi + \!$

$+ \frac 1 2 al \int_0^{arccos \left ( -\frac l a \right )} \cos \varphi d \varphi + \frac 1 2 l^2 \int_0^{arccos \left ( -\frac l a \right )} d \varphi. \!$

De unde obţinem:

$S'_1 = a^2 \left ( \left. \frac{\varphi}{2} \right |_0^{arccos \left ( -\frac l a \right )} - \left. \right |_0^{arccos \left ( -\frac l a \right )} \right ) + 2al \sin \varphi |_0^{arccos \left ( -\frac l a \right )} + l^2 |_0^{arccos \left ( -\frac l a \right )} = \frac{a^2 \varphi_1}{2}- \!$

$a^2 \frac{\sin 2 arccos \left ( -\frac l a \right )}{4} + 2 al \sin arccos \left ( -\frac l a \right ) + l^2 \varphi_1 = \!$

$= \left ( \frac 1 2 a^2 + l^2 \right ) \varphi_1 + \frac{l \sqrt {a^2 - l^2}}{2} + 2l \sqrt {a^2 - l^2} \!$

Deci aria căutată este:

$S_1 = 2 S'_1 = \left ( \frac 1 2 a^2 + l^2 \right ) \varphi_1 + \frac 3 2 l \sqrt {a^2-l^2}. \!$

Analog se determină S_2. Analog se demonstrează faptul că aria cardioidei este $S= \frac 3 2 \pi a^2 \!$ şi este de 6 ori mai mare decât aria cercului de bază.

Resurse

• Scribd.com