Limite laterale ale unei funcții

Limita unei funcţii într-un punct, $L = \lim_{x \to a} f(x), \!$ este în general o limită bilaterală pentru că variabila x se poate apropia de a şi din stânga şi din dreapta. Aceasta este necesar atunci când funcţia este definită doar în stânga sau doar în dreapta punctului a sau atunci când apropiindu-se din stânga şi din dreapta obţinem limite diferite. Vom folosi următoarea terminologie:

• $x\!$ tinde la $a \!$ dinspre dreapta sau $x\!$ coboară la $a \!$ şi notăm $x \rightarrow a^+ \!$ sau $x \searrow a \!$

• $x\!$ tinde la $a \!$ dinspre stânga sau $x\!$ urcă la $a \!$ şi notăm $x \rightarrow a^- \!$ sau $x \nearrow a \!$

DEFINIŢIA 1. Limita la dreapta a funcţiei f în punctul a este L (sau limita lui $f(x) \!$ atunci când x tinde la a dinspre dreapta lui L) dacă pentru orice $\epsilon>0 \!$ există $\delta = \delta (\epsilon) >0 \!$ astfel încât $a<x< x+ \delta \Rightarrow |f(x) - L|< \epsilon. \!$

Faptul că limita la dreapta a funcţiei f în punctul a este L se notează astfel:

$L = \lim_{x \to a^+} \!$ sau $L = lim_{x\searrow a} f(x). \!$

DEFINIŢIA 2. Limita la stânga a funcţiei f în punctul a este L (sau limita lui $f(x) \!$ atunci când x tinde la a dinspre stânga este L) dacă pentru orice $\epsilon>0 \!$ există $\delta = \delta (\epsilon) >0 \!$ astfel încât $a - \delta < x < a \Rightarrow |f(x) - L|< \epsilon. \!$

Altă formulare:

O funcţie $f: D \subseteq \mathbb R \rightarrow \mathbb R \!$ are limită laterală la stânga (respectiv la dreapta) în punctul de acumulare $x_0 \; \Leftrightarrow \; \!$ există $l_s \in \mathbb R \!$ (respectiv $l_d \in \mathbb R \!$) a.î. $\lim f(x) = l_s, \!$ (respectiv $\lim f(x) = l_d \!$).

Faptul că limita la stânga a funcţiei f în punctul a este L se notează astfel:

$L = \lim_{x \to a^-} \!$ sau $L = lim_{x \nearrow a} f(x). \!$

OBSERVAŢIE. Dacă funcţia f are limită la stânga şi limită la dreapta în a şi aceste limite laterale sunt egale cu L:

$\lim_{x \to a^+} f(x) = L - \lim_{x \to a^-} f(x) \!$

atunci funcţia f are limită în a şi această limită este L:

$\lim_{x \to a} f(x) = L = \lim_{x \to a^+} f (x) = \lim_{x \to a^-} f(x) \!$

EXEMPLUL 1. Funcţia $f(x) = \sqrt x \!$ este definită doar pentru $x \ge 0. \; \; \lim_{x \to 0^+}f(x) = \lim_{x \to 0^+} \sqrt x = 0. \!$

EXEMPLUL 2. Funcţia

$sign (x) = \frac {x}{|x|} = \begin{cases} 1, & pentru \; x>0 \\ -1, & pentru \; x<0 \end{cases} \!$

nu are limită în a=0. Limitele laterale însă există: $\lim_{x \to 0^+} sign(x) = 1 \!$ şi $\lim_{x \to 0^-} sign(x)=-1. \!$

EXEMPLUL 3. Funcţia treaptă şi funcţia scară. Funcţia treaptă este definită astfel:

$step(x)= \begin{cases} 0, & pentru \; x<0 \\ \frac 1 2, & pentru \; x=0 \\ 1, & pentru \; x>0 \end{cases} \!$

Pentru $x \neq 0 \!$ funcţia treaptă poate fi scrisă astfel:

$step(x) = \frac 1 2 (1+ sign(x)). \!$

Funcţia treaptă are limite laterale în 0 : $\lim_{x \to 0^+} step(x) =1;\; \lim_{x \to 0^-}step(x)=0. \!$

Funcţie treaptă translatată $step(x-a) = 1 \!$ are treapta în punctul a (nu în 0) unde are limite laterale: $\lim_{x \to a^+}step(x-a) =1 \!$ şi $\lim_{x \to a^-}step(x-a)=0. \!$

Funcţia scară este o funcţie cu mai multe trepte. De exemplu:

$S_m(x) = \sum_{n=0}^m step(n-n) \!$

La fiecare treaptă, funcţia scară are o limită laterală la stânga şi o limită laterală la dreapta care sunt diferite şi de valoarea funcţiei $S_m \!$ în punct. În toate celelalte puncte, limitele laterale coincid şi deci funcţia scară are limită în puncte $x \neq n. \!$