DEFINIŢIA 1.
Şirul de numere reale converge la numărul L dacă pentru orice există un număr astfel ca toţi termenii de rang ai şirului să verifice inegalitatea:
Faptul că şirul converge la numărul L se notează pe scurt cu şi spunem că pentru n tinzând către infinit, limita lui este L.
COMENTARIU:
Dacă şirul converge la L, atunci orice subşir al şirului converge la L.
Într-adevăr, pentru orice există astfel încât pentru să avem
De aici rezultă că pentru orice avem
Nu orice şir este convergent.
De exemplu, şirul nu converge.
Aceasta întrucât subşirul converge la 1 şi subşirul converge la -1.
Proprietăţi[]
Limita unui şir convergent este unică.
Dacă şirul ar converge la şi la cu , atunci ar rezulta că există şi astfel încât pentru orice şi pentru orice
De aici rezultă că pentru orice avem: ceea ce este absurd.
Dacă un şir converge la , atunci este mărginit.
Într-adevăr, există astfel că pentru orice să avem: şi astfel pentru orice
Rezultă în continuare că pentru orice n are loc inegalitatea:
