Lemniscata lui Bernoulli

Definiţie

Lemniscata lui Bernoulli [gr. lemniscos "panglică"] este o curbă plană, loc geometric al punctelor pentru care produsul distanţelor la două puncte fixe este egal cu pătratul jumătăţii distanţei dintre punctele fixe:

$PF_1 \cdot PF_2 = a^2, \!$

unde $F_1(-a, 0), \; F_2(a, 0) \!$ sunt punctele fixe cu $F_1F_2 = 2a. \!$

Lemniscata este un caz particular al ovalelelor lui Cassini‎‎ şi are ecuaţia carteziană:

$(x^2 + y^2)^2- 2 a^2 (x^2 - y^2)=0, \!$

iar ecuaţia polară (cu polul în originea sistemului cartezian):

$r^2 = 2 a^2 \cos 2 \theta. \!$

Aria unei bucle a lemniscatei este $2a^2. \!$

Lemniscata a fost considerată şi denumită astfel de Jacques Bernoulli (1694), ca soluţie a unei probleme de mecanică.

Construcţie (Metoda lui Maclaurin)

Fie O mijlocul segmentului $F_1F_2 = 2a. \!$ Construim cercul de centru $F_1 \!$ (sau $F_2\!$) şi rază $\frac {2}{\sqrt 2}. \!$ Secanta din O la cerc intersectează cercul în P şi Q. Pe acestă secantă construim punctele $M \!$ şi $M_1 \!$ de o parte şi de alta a lui O cu proprietatea $OM= OM_1 = PQ. \!$ M descrie o buclă a lemniscatei în timp ce $M_1 \!$ descrie cealaltă buclă.

Caracteristici ale curbei

Lemniscata are două axe de simetrie: dreapta suport a segmentului $F_1F_2 \!$ şi mediatoarea segmentului $F_1F_2 \!$. O este numit şi nodul curbei şi este punct de inflexiune pentru ambele ramuri. Tangentele în O la curbă formează unghiuri de $45^{\circ} \!$ cu axa $F_1F_2. \!$ Avem $d(O, A_1) = d(O, A_2) = c \sqrt 2 \!$ iar $A_1 \!$ şi $A_2 \!$ se numesc vârfuri.

Ecuaţiile lemniscatei

Ecuaţia în coordonate carteziene

Ecuaţia curbei în coordonate carteziene (O ca origine) este:

$(x^2 + y^2)^2 = 2c^2 (x^2 - y^2). \!$

Demonstraţie. Pentru a găsi ecuaţie lemniscatei considerăm ca origine punctul O şi fie $(x, y)\!$ coordonatele punctului M. Construim $MM' \!$ perpendiculara prin M la axa Ox. Considerăm triunghiurile dreptunghice $MM'F_1 \!$ şi $MM'F_2. \!$ Aplicând teorema lui Pitagora în cele două triunghiuri, obţinem relaţiile:

$MF_1^2 = y^2 + (x-c)^2 \!$

$MF_2^2 = y^2 + (x+c)^2 \!$

Ţinând seama de relaţia $MF_1 \cdot MF_2 = a^2 \!$ rezultă:

$\left [ y^2 + (x-c)^2 \right ] \cdot \left [ y^2 + (x+c)^2 \right ] = c^4, \!$

de unde obţinem ecuaţia:

$(x^2 + y^2)^2 = 2 c^2 (x^2 - y^2), \!$

care dă reprezentarea în coordonate carteziene a lemniscatei.

Ecuaţia în coordonate polare

$r^2 = 2a^2 cos 2 \theta$

Resurse

• Scribd.com
• Wolfram MathWorld
• CurveBank.Calstatela.edu
• Gap-system.org
• Xahlee.org
• MathCurve.com

Familia Bernoulli
Jacques Bernoulli (Jakob Bernoulli) (1654 - 1705) Ecuația diferențială de tip Bernoulli Numerele lui Bernoulli Lemniscata lui Bernoulli Operatorul Bernoulli Inegalitatea lui Bernoulli	-frate-	Jean Bernoulli (Johann Bernoulli) (1667 – 1748) Identitatea lui Bernoulli Regula lui Bernoulli
		| fiu |
		Daniel Bernoulli (1700–1782) Legea lui Bernoulli Teoria cinetică a gazelor Teoria probabilităților