Legea lui Bernoulli

Considerând că un fluid curge dintr-o zonă în care presiunea este $p_1 \!$ în altă zonă în care presiunea este $p_2 \!$. Un element de suprafaţă S este deplasat pe distanţa x de către rezultanta forţelor $({\vec {F}}_{1}-{\vec {F}}_{2})\!$ care provin din cele două presiuni. Lucrul mecanic necesar pentru aceasta este $L=(F_{1}-F_{2})x=(p_{1}S-p_{2}S)x=(p1-p2)S.x,deciL=(p_{1}-p_{2})V\!$

Pentru deducerea ecuaţiei lui Bernoulli să considerăm că o mică porţiune de fluid, cu densitatea r, trece dintr-un loc A în alt loc B fără a-şi modifica volumul. În timpul curgerii, această porţiune de fluid, îşi modifică şi altitudinea, de la $h_1 \!$ la $h_2 \!$

Conform teoremei de variaţie a energiei cinetice se poate scrie:

${\frac {mv_{2}^{2}}{2}}-{\frac {mv_{1}^{2}}{2}}=mg(h_{1}-h_{2})+(p_{1}-p_{2})V.\!$

Exprimând masa $m=\rho V\!$ şi grupând termenii după indici se obţine:

${\frac {\rho Vv_{1}^{2}}{2}}+\rho Vgh_{1}+p_{1}V={\frac {\rho Vv_{2}^{2}}{2}}+\rho Vgh_{2}+p_{2}V\!$

După împărţirea ecuaţiei cu V se obţine:

${\frac {\rho v_{1}^{2}}{2}}+\rho gh_{1}+p_{1}={\frac {\rho v_{2}^{2}}{2}}+\rho gh_{2}+p_{2}\!$

Din această relaţie se vede că fiecare termen are funcţia unei presiuni:

• ${\frac {\rho v^{2}}{2}}=\!$ presiune dinamică

• $\rho gh=\!$ presiune de poziţie

• $p=\!$ presiune statică

iar suma acestora se conservă:

${\frac {\rho v^{2}}{2}}+\rho gh+p=const.\!$

Presiunea totală în lungul unei linii de curent într-un fluid incompresibil şi lipsit de vâscozitate, aflat în curgere staţionară, este constantă.

În cazul particular când tubul de curent este orizontal se poate scrie:

${\frac {\rho v^{2}}{2}}+p=const.\!$

Aplicaţii ale legii lui Bernoulli

Pulverizatorul

Trompa de apă

Sonda de presiune $(p=\rho g\Delta h)\!$

Tubul venturi $(Q=K{\sqrt {\frac {\Delta p}{\rho }}})\!$

Tubul Pitot

Zborul avionului

Efectul Magnus:

Efectul Magnus: Sfera este împinsă spre regiunea cu liniile de curent mai dese.

O sferă (un cilindru) aflată în mişcare de rotație într-un fluid, care se află într-o mişcare de curgere faţă de corpul solid, efectuează o mişcare rezultantă uşor curbată.

Formula Torricelli

$\rho gh+{\frac {1}{2}}\rho v_{1}^{2}={\frac {1}{2}}\rho v_{2}^{2}.\!$

$S_{1}v_{1}=S_{2}v_{2}.\!$

Dacă $S_{2}\ll S_{1}\!$ atunci:

$v_{2}\approx {\sqrt {2gh}}.\!$

care se numeşte formula lui Torricelli.

Vezi şi

• Ecuația Hagen-Poiseuille

Sursa

• Zeppelin - Legea lui Bernoulli

Familia Bernoulli
Jacques Bernoulli (Jakob Bernoulli) (1654 - 1705) Ecuația diferențială de tip Bernoulli Numerele lui Bernoulli Lemniscata lui Bernoulli Operatorul Bernoulli Inegalitatea lui Bernoulli	-frate-	Jean Bernoulli (Johann Bernoulli) (1667 – 1748) Identitatea lui Bernoulli Regula lui Bernoulli
		| fiu |
		Daniel Bernoulli (1700–1782) Legea lui Bernoulli Teoria cinetică a gazelor Teoria probabilităților