János Bolyai
János Bolyai (1802 - 1860) a fost un matematician maghiar din Transilvania.
A studiat de timpuriu matematica sub îndrumarea tatălui său Farkas Bolyai, profesor la colegiul din Tg. Mureş. A urmat cursurile Academiei tehnice militare de la Viena.
A creat (independent de Lobacevski) prima geometrie neeuclidiană, înlocuind postulatul paralelelor lui Euclid cu axioma: printr-un punct exterior unei drepte se pot duce două paralele la aceasta.
A publicat această descoperire ca oa anexă, intitulată Appendix, la tratatul tatălui său Tentamen (1832).
János Bolyai(1802-1860)-matematician maghiar din Transilvania,care,independent de Lobacevski,a creat prima geometrie neeuclidiana.S-a nascut la 15 decembrie 1802,la Cluj,in Transilvania,Romania,tatal lui fiind matematicianul Farkas Bolyai.De la tatal lui a mostenit interesul pentru postulatul al V-lea al lui Euclid,conform caruia printr-un punct poate fi trasata numai o singura dreapta paralela la o dreapta data.De-a lungul timpului multi geometri incercasera fara succes sa-l demonstreze,printre acestia numarandu-se si tatal sau care,nereusind nici el dupa 20 de ani de incercari,l-a avertizat de dificultatile care-I stateau in cale.Cu toate acestea János n-a renuntat,si,in 1823,dupa incercari zadarnice de a demonstra axioma euclidiana(cel de-al V-lea postulat,numit al paralelelor),i-a venit ideea de a construi o noua geometrie fara axioma paralelelor,numita de el geometrie absoluta:"Din nimic eu am creast o intreaga noua lume",a anuntat el victorios pe tatal sau intr-o scrisoare din 3 noiembrie 1823.Fiind ofiter,in timpul unei permisii(1824) a lasat tatalui manuscrisul lucrarii redactat in prima sa forma.In anii urmatori 1825-1826 si-a continuat cercetarile finalizandu-si lucrarea care acum o rescrisese intr-o forma foarte concentrata,greu de urmarit chiar de un cititor obisnuit cu textele matematice dificile si i-a trimis-o din nou tatalui sau,care,de data aceasta,a inteles-o si a primit-o cu entuziasm.Fiul i-a propus tatalui sa-i traduca lucrarea in latina pentru a fi accesibila matematicienilor straini si s-o publice in primul volum al tratatului sau de matematica,editat in doua volume,intitulat "Tentamen introducendi juventutem in elementa matheseos purae"(Incercare de initiere a tineretului in elementele matematicii pure),pe care tocmai il pregatea pentru tipar.
In 1830 Farkas Bolyai a terminat traducerea lucrarii fiului sau si a tiparit-o in brosura intr-un numar mic de exemplare separate,mai inainte de a o publica in volum,temandu-se ca fiul sau sa nu piarda prioritatea descoperirii.Primele exemplare au aparut in iunie 1831,din care unul l-a trimis fiului sau,iar altul l-a trimis lui Gauss,rugandu-l sa-l citeasca si sa-si spuna parerea,comunicandu-I totodata unele date despre familia sa.Neprimind raspuns nici de data aceasta,Farkas Bolyai a insistat trimitandu-i la 16 ianuarie 1832 o noua scrisoare si primul volum al cartii lui care continea la sfarsit lucrarea fiului sau,ca "Appendix scientiam spatii absolute veram exhibens"(eseu de numai 24 de pagini,unica lucrare publicata in timpul vietii matematicianului János Bolyai).De data aceasta Gauss i-a raspuns printr-o scrisoare,datata 6 martie 1832.Dupa ce s-a scuzat pentru ca nu i-a raspuns la prima scrisoare din cauza unor necazuri familiale,de care nici el n-a fost scutit,el si-a continuat scrisoarea astfel:"Acum ceva despre lucrarea fiului tau.Tu vei fi pentru un moment probabil socat cand eu voi incepe spunand ca eu nu pot sa-l laud,eu nu pot sa fac nimic altceva decat sa ma laud pe mine insumi.Intregul continut al lucrarii,drumul pe care l-a ales fiul tau si rezultatele la care a ajuns,coincid aproape pe de-a-ntregul cu meditatiile mele proprii,care m-au preocupat,in parte,acum vreo 30-35 de ani".Raspunsul l-a dezamagit profund pe tanarul János,care l-a banuit pe Gauss ca vrea sa-I conteste prioritatea descoperirii.El a facut o depresie psihica si,devenind inapt pentru serviciul militar,a fost pensionat definitiv cu gradul de capitan,in data de 11 iunie 1833,la varsta de numai 31 de ani.
De abia dupa moartea lui Gauss a devenit cunoscuta si publicata o scrisoare a lui din februarie 1832,adresata fostului sau elev,matematicianului Gerling,in care el recunostea meritele lui János Bolyai:"Zilele acestea am primit o mica lucrare despre geometria neeuclidiana,in care am gasit toate ideile si rezultatele mele proprii deduse cu mare eleganta,desi,din cauza formei concentrate,ceva mai greu de urmarit pentru un strain de acest subiect.Autorul este un foarte tanar ofiter austriac,fiul unui prieten al meu din tinerete,cu care discutam aceste probleme prin 1796,pe cand ideile mele erau departe de a fi ajuns la maturitatea la care a ajuns acest tanar prin propriile lui ganduri.Il consider pe acest tanar geometru von Bolyai ca pe un geniu de prima marime".
Memoriul sau privind numerele complexe depasea nivelul de intelegere al matematicienilor contemporani lui din Societatea din Leipzig.El continea o teorie incipienta a logaritmilor de argument complex,aplicatiile numerelor complexe in geometria neeuclidiana si teoria cuaternionilor,care i-a adus mai tarziu lui W.R. Hamilton(1805-1865),celebritatea.
Trecandu-i supararea,János si-a reluat cercetarile de matematica dupa ce tatalui sau i-a trimis prin posta(17 octombrie 1848),fara nici un comentariu,cartea publicata,in 1840,la Berlin de Nicolae Lobacevski.In urmatorii 2 ani si jumatate,lucrand cu pasiune zile si nopti la rand,el a redactat "Notele critice cu privire la cercetarile geometrice ale lui Lobacevski",care demonstrau ca acesta pusese bazele unei geometrii identice cu cea descoperita de el.
Opera sa fundamentala "Appendix" a ramas o vreme aproape uitata,pana cand Richard Baltzer in lucrarea sa "Elemente de matematica"(1867),dezbatand lucrarile lui Bolyai si Lobacevski,le-a readus in atentie,in acelasi timp cu Jules Honel,care a tradus in franceza cartea lui Lobacevski(1867),facand o corespondenta intre aceasta si "Appendixul" lui Bolyai(1868).Dar recunoasterea deplina a meritelor lui Bolyai(mai putin norocos decat Lobacevski) i-a fost adusa de lucrarile lui Eugenio Beltrami(1868) si de Felix Klein(1871),care au stabilit conexiunile dintre geometria lui si relatiile trigonometriei sferice.Pasul urmator a fost facut de Bernhard Riemann(1826-1866),care in celebra lui teza de doctorat "Ueber die Hypothesen,welche der Geometrie zue Grundeliegen"(Despre ipotezele care stau la baza geometriei),prezentata in 1854,dar publicata in 1868,a introdus un al doilea tip de geometrie neeuclidiana(in care a presupus ca spatiul este nemarginit,dar finit,idee preluata de Einstein in stabilirea bazelor teoriei relativitatii generalizate),care corespunde cazului in care suma unghiurilor unui triunghi este mai mare decat doua unghiuri drepte.In fine,David Hilbert(1862-1943)in "Grundlagen der Geometrie"(1899)(Bazele geometriei) a facut o sinteza a rezultatelor obtinute pana atunci in dezvoltarea geometriei si a prezentat rezultatele cercetarilor proprii privind axiomatizarea geometriei.Hilbert si-a propus sa reconstruiasca edificiul geometriei numai cu ajutorul regulilor logicii si ale aritmeticii.Evitand orice referire la imagini concrete,Hilbert a introdus "trei sisteme de lucruri"(puncte,drepte si plane)-obiecte de natura neprecizata,care satisfac anumite relatii exprimate prin 21 de axiome,impartite,la randul lor,in 5 grupe:de apartenenta(8),de ordine(4),de congruenta(egalitate)(6),axioma paralelelor si axiome de continuitate(2).