Fie S o suprafaţă simplă de arie finită dată prin reprezentarea parametrică cu şi o funcţie continuă cu proprietatea
Împărţim suprafaţa S în n suprafeţe mai mici având ariile În fiecare parte alegem un punct oarecare şi considerăm suma:
DEFINIŢIE
Dacă n creşte şi sunt astfel încât cel mai mare tinde la un punct pentru atunci şirul de numere tinde la un număr care nu depinde de diviziune şi de algerea punctelor
Această limită se numeşte integrala de suprafaţă de speţa întâi a funcţiei f pe S şi se notează cu:
De fapt, şirul tinde la integrala dublă
şi valoarea acestei integrale duble este integrala de suprafaţă de speţa întâi a lui f pe S.
Valoarea integralei de suprafaţă de speţa întâi nu depinde de reprezentarea parametrică a suprafeţei.
Fie S o suprafaţă simplă având reprezentare parametrică
Orientăm S cu versorul normalei dar de această reprezentare.
unde
Notăm cu unghiurile dintre şi direcţiile pozitive ale axelor de coordonate şi avem:
Fie acum funcţiile definite şi continue în orice punct din S.
DEFINIŢIE.
Integralele de suprafaţă notate cu
definite prin:
se numesc integrale de suprafaţă de speţa a doua.
Integralele de suprafaţă de speţa a doua sunt integrale de suprafaţă de speţa întâi din funcţii care depind de suprafaţă şi de orientarea suprafeţei.
Este clar că valoarea unei asemenea integrale depinde de (de reprezentarea parametrică) care defineşte o orientare a lui S.
Trecerea la orientarea opusă corespunde înmulţirii cu a integralei, deoarece componentele ale lui se înmulţesc cu
Sume celor trei integrale de suprafaţă de speţa a doua poate fi scrisă într-o formă simplă alegând o notaţie vectorială:
şi obţinem:
Fiecare integrală de suprafaţă de speţa a doua se exprimă ca o integrală dublă în termenii reprezentării parametrice:
Proprietăţi ale integralelor de suprafaţă[]
Integralele de suprafaţă de speţa întâi şi cele de speţa a doua sunt liniare şi aditive.
Aceasta întrucât ele se reduc la integrale duble care au aceste proprietăţi.
Astfel avem:
a)
b)
c)
Pe lângă aceste proprietăţi, integralele de suprafaţă au următoarele proprietăţi importante:
Fie A o mulţime mărginită şi închisă pe a cărei frontieră este o suprafaţă orientabilă S, simplă pe porţiuni.
TEOREMA DE DIVERGENŢĂ A LUI GAUSS.
Dacă funcţia vectorială este de clasă pe un domeniu care conţine mulţimea A, atunci are loc egalitatea:
unde este versorul normalei exterioare la S.
CONSECINŢA 1.
Dacă atunci:
şi pentru avem:
CONSECINŢA 2.
Dacă atunci:
şi
George Green, matematician şi fizicin englez
Această egalitate poartă numele de prima formulă a lui Green
Schimbând rolurile lui f şi g şi scăzând se obţine egalitatea:
care poartă denumirea de cea de a doua formulă a lui Green.
Fie S o suprafaţă simplă orientată, a cărei frontieră este o curbă simplă închisă C orientată.
TEOREMA LUI STOKES.
Dacă funcţia vectorială este de clasă într-un domeniu care conţine suprafaţa S, atunci:
unde: este versorul normalei la S, iar este versorul tangentei la C.
