Identitatea lui Jacobi

Dacă ${\vec {a}},{\vec {b}},{\vec {c}}\in V_{3},\!$ atunci:

{\vec {a}}\times ({\vec {b}}\times {\vec {c}})+{\vec {b}}\times ({\vec {c}}\times {\vec {a}})+{\vec {c}}\times ({\vec {a}}\times {\vec {b}})={\vec {0}}\!

(identitatea lui Jacobi)

Demonstraţie

{\vec {a}}\times ({\vec {b}}\times {\vec {c}})+{\vec {b}}\times ({\vec {c}}\times {\vec {a}})+{\vec {c}}\times ({\vec {a}}\times {\vec {b}})=\!

=({\vec {a}}\cdot {\vec {c}}){\vec {b}}-({\vec {a}}\cdot {\vec {b}}){\vec {c}}+({\vec {b}}\cdot {\vec {a}}){\vec {c}}-({\vec {b}}\cdot {\vec {c}}){\vec {a}}+({\vec {c}}\cdot {\vec {a}}){\vec {b}}-({\vec {c}}\cdot {\vec {b}}){\vec {a}}={\vec {0}}.\!

Generalizare:

Dacă F este o formă biliniară: $F:V\times V\rightarrow V\!$ pe spațiul vectorial $V,\!$ atunci:

F(F(x,y),z)+F(F(y,z),x)+F(F(z,x),y)=0\;\forall \,x,y,z\in V.\!

Vezi şi[]