Hipocicloida este curba descrisă de un punct de pe un cerc care rulează fără să alunece, pe un alt cerc fix, cercurile fiind interioare.
Se alege reperul xOy , format din doi diametri perpendiculari ai cercului fix de centru O ,
astfel încât axa Ox sa treaca prin punctul A , punct initial de contact între cercurile considerate.
Se considera rularea cercului de centru O’ din pozitia A într-o pozitie arbitrara, cu N
punct de contact între cercul fix si cercul mobil. Punctul A va trece în punctul M .
Se notează:
φ
=
N
O
x
^
,
φ
′
=
M
O
′
N
^
{\displaystyle \varphi ={\widehat {NOx}},\;\varphi '={\widehat {MO'N}}\!}
în sens trigonometric, şi se obţine:
A
N
⌢
=
M
N
⌢
{\displaystyle {\overset {\frown }{AN}}={\overset {\frown }{MN}}\!}
(în sens trigonometric), adică:
a
φ
=
b
φ
′
{\displaystyle a\varphi =b\varphi '\!}
de unde:
φ
′
=
a
b
φ
.
{\displaystyle \varphi '={\frac {a}{b}}\varphi .}
şi deci:
φ
′
−
φ
=
a
−
b
b
φ
.
{\displaystyle \varphi '-\varphi ={\frac {a-b}{b}}\varphi .}
relaţie care se va utiliza în cele ce urmează.
Din triunghiul OO'MM se obţine:
O
M
¯
=
O
O
′
¯
+
O
′
M
¯
,
{\displaystyle \overline {OM} = \overline {OO'} + \overline {O'M}, \!}
din care rezultă:
x
=
p
r
O
x
O
O
′
¯
+
p
r
O
x
O
′
M
¯
,
y
=
p
r
O
y
O
O
′
¯
+
p
r
O
y
O
′
M
¯
{\displaystyle x=pr_{Ox} \overline {OO'} + pr_{Ox} \overline {O'M}, \; \; y= pr_{Oy} \overline {OO'} + pr_{Oy} \overline {O'M} \!}
Dar:
p
r
O
x
O
O
′
¯
=
O
O
′
¯
⋅
i
¯
=
(
a
−
b
)
cos
φ
p
r
O
y
O
O
′
¯
=
(
a
−
b
)
sin
φ
{\displaystyle pr_{Ox}{\overline {OO'}}={\overline {OO'}}\cdot {\overline {i}}=(a-b)\cos \varphi \;\;pr_{Oy}{\overline {OO'}}=(a-b)\sin \varphi \!}
p
r
O
x
O
′
M
¯
⋅
i
¯
=
−
O
′
S
=
−
b
cos
(
M
O
′
x
″
^
)
=
−
b
cos
(
φ
′
−
φ
−
180
∘
)
=
{\displaystyle pr_{Ox}{\overline {O'M}}\cdot {\overline {i}}=-O'S=-b\cos({\widehat {MO'x''}})=-b\cos(\varphi '-\varphi -180^{\circ })=\!}
=
b
cos
(
φ
′
−
φ
)
=
b
cos
a
−
b
b
φ
,
{\displaystyle =b\cos(\varphi '-\varphi )=b\cos {\frac {a-b}{b}}\varphi ,\!}
p
r
O
y
O
′
M
¯
=
O
′
M
¯
⋅
j
¯
=
S
M
=
b
sin
(
M
O
′
x
″
^
)
=
b
sin
(
φ
′
−
φ
−
180
∘
)
=
{\displaystyle pr_{Oy}{\overline {O'M}}={\overline {O'M}}\cdot {\overline {j}}=SM=b\sin({\widehat {MO'x''}})=b\sin(\varphi '-\varphi -180^{\circ })=\!}
=
−
b
sin
(
φ
′
−
φ
)
=
−
b
sin
a
−
b
b
φ
.
{\displaystyle =-b\sin(\varphi '-\varphi )=-b\sin {\frac {a-b}{b}}\varphi .\!}
Deoarece:
M
O
′
x
″
^
+
x
″
O
′
O
^
+
180
∘
=
M
O
′
N
^
,
{\displaystyle {\widehat {MO'x''}}+{\widehat {x''O'O}}+180^{\circ }={\widehat {MO'N}},\!}
(în sens trigonometric) adică
{\displaystyle \!}
Vezi și [ ] Resurse [ ] 
