Formulele lui Frenet

Fie o curbă $\Gamma \!$ definită prin vectorul de poziţie $\vec r \!$ .

Dacă $\vec \tau \!$ este versorul tangentei şi cu $\vec n \!$ versorul lui $\overrightarrow r'' (s) \!$ , atunci

(1) $\vec r''(s) \perp \vec r' (s).$

Rezultă:

(2) $\frac {d \vec \tau}{ds} = K \vec n$ ,

unde K este funcţie de s care se va preciza.

$Tangenta la o curba$

Definiţia 1: Se numeşte normala principală la curba $\Gamma \!$ în punctul M dreapta care trece prin M şi care are ca vector director versorul $\vec n \!$ (versorul normalei principale).

Definiţia 2: Se numeşte curbura curbei $\Gamma \!$ în punctul M lungimea vectorului $\frac {d \vec \tau}{ds}$ (adică K din formula (0.4.1))

$Frenet reper$

Definiţia 3: Se numeşte versorul binormalei la curba $\Gamma \!$ în punctul M versorul $\vec b \!$ definit de:

\vec b = \vec \tau \times \vec n

şi se numeşte binormala la curba $\Gamma \!$ în punctul M dreapta care trece prin M şi are ca vector director versorul $\vec b \!$ .

Definiţia 4: Se numeşte reperul lui Frenet la curba $\Gamma \!$ în punctul M reperul $\{ M, \vec \tau, \vec n, \vec b \} \!$ .

Să calculăm acum derivatele versorilor reperului lui Frenet în raport cu parametrul natural al curbei $\Gamma \!$ . Derivata lui $\vec \tau \!$ este (vezi 0.4.1):

(1) $\frac {d \vec \tau}{ds} = K \vec n$

Derivata lui $\vec b \!$ este un vector perpendicular pe $\vec b \!$ şi:

(3) $\frac {d \vec b}{ds} = \frac {d \vec \tau}{ds} \times \vec n + \vec \tau \times \frac {d \vec n}{ds} =$ $= K \vec n \times \vec n + \vec \tau \times \frac {d \vec n}{ds} = \vec \tau \times \frac {d \vec n}{ds}$

deci $\frac {d \vec b}{ds} \!$ este perpendicular şi pe $\vec {\tau}$ . Prin urmare $\frac {d \vec b}{ds} \!$ este coliniar cu $\vec n \!$ (a doua formulă a lui Frenet):

(4) $\frac {d \vec b}{ds} = - T \vec n$

Definiţia 5: Se numeşte torsiunea curbei $\Gamma \!$ în punctul M funcţia T de s definită de (0.4.2).

Sa calculăm acum $\frac {d \vec n}{ds} \!$ . Deoarece

(5) $\vec n = \vec b \times \vec \tau \!$

avem:

(1) $\frac {d \vec n}{ds} = \frac {d \vec b}{ds} \times \vec \tau + \vec b \times \frac {d \vec \tau}{ds}=$ $= - T \vec n \times \vec \tau + \vec b \times K \vec n = T \vec b - K \vec \tau$ .