Figurile lui Lissajous

Curbe Lissajous pentru $f_x = 8 Hz, \; f_y = 9 Hz \!$ (faza iniţială nulă pentru ambele componente)

Curbele (sinonim: figurile, franjurile) lui Lissajous (de la numele matematicianului francez Jules Antoine Lissajous) reprezintă traiectoria unui punct material care participă simultan la două oscilații armonice care se produc după direcţii perpendiculare:

$x =a \sin (mt + \alpha) \!$

$y =b \sin (nt + \beta) \!$

sau:

$x =a \cos (mt + \alpha) \!$

$y =b \cos (nt + \beta). \!$

Aceste curbe sunt transcendente sau algebrice după cum raportul $\frac m n \!$ e irațional sau rațional. Dacă perioadele sunt egale ($m=n \!$), curba este o elipsă a cărei formă depinde de diferenţa de fază a oscilaţiilor componente, ea reducându-se la un segment de dreaptă când această diferenţă e 0 sau $\pi \!$ şi la o elipsă raportată la direcţiile perpendiculare pe care se produc oscilaţiile când diferenţa lor de fază e $\frac{\pi}{2} \!$ sau $\frac{3 \pi}{2}. \!$ Când amplitudinile oscilaţiillor componente sunt egale ($a=b \!$), elipsa e un cerc.

Dacă raportul perioadelor celor două oscilaţii este raţional, curbele obţinute depind deci de raportul frecvenţelor şi de defazajul dintre ele. În acest caz, raportul dintre numărul de puncte de intersecţie cu Ox şi respectiv cu Oy determină tipul de figură Lissajous.

Figurile lui Lissajous pot fi studiate şi vizualizate cu ajutorul osciloscopului catodic. Pe cele două plăci de deflexie se aplică tensiunile sinusoidale respective.

Galerie

3 de curbe Lissajous

$\frac{f_2}{f_1} \!$	Diferenţa de fază
	0	$\frac{\pi}{4} \!$	$\frac{\pi}{3} \!$	$\frac{\pi}{2} \!$	$\frac{2 \pi}{3} \!$	$\frac{3 \pi}{4} \!$	$\pi \!$
$\frac{1}{4} \!$
$\frac 1 3 \!$
$\frac{1}{2} \!$
$\frac{2}{3} \!$
$\frac{3}{4} \!$
$1 \!$

Resurse

• Applet trasare curbe Lissajous
• Compunerea a două oscilaţii armonice perpendiculare
• Imagini pe osciloscop virtual