Ecuație diferențială de tip Bernoulli

Ecuația diferențială de tip Bernoulli este o ecuație diferențială de forma:

$y' + P(x) y = Q(x)y^{\alpha}, \; \alpha \in \mathbb R \setminus \{ 0, 1 \}. \!$   (1)

Presupunem că P și Q sunt funcții continue pe un interval I. Împărțind cu $y^{\alpha}, \!$ pentru $y \neq 0, \!$ obținem:

$y^{- \alpha} y' + P(x) y^{1 - \alpha} = Q(x). \!$

Dacă facem schimbarea de funcție $y^{1 - \alpha} = z, \!$ unde z = z(x) este noua funcție necunoscută, rezultă $(1 - \alpha) y ^{- \alpha} \cdot y' = z' \!$ și mai departe

$\frac {z'}{1- \alpha} + P(x)z = Q(x). \!$   (2)

Ecuația diferențială (2) este o ecuație diferențială liniară de ordinul întâi și se rezolvă în acest mod.

Exemplu. Să se găsească soluția generală a ecuației diferențiale :

$y' - \frac {y}{3x} = \frac 1 3 y^4 \ln x, \; x \in (0, \infty). \!$

Împărțind cu $y^4 , \!$ pentru $y \neq 0, \!$ rezultă $y^{-4} \cdot y' - \frac {1}{3x} y^{-3} =\frac 1 3 \ln x. \!$

Dacă notăm cu $z= y ^{-3}, \!$ atunci $z' = - 3 y^{-4} y' \!$ și ecuația devine:

$z' + \frac 1 x z = - \ln x. \!$

Aceasta este o ecuație diferențială liniară de ordinul întâi, cu $P(x) = \frac 1 x \!$ și $Q(x) = - \ln x. \!$

Folosind formula $y= e^{- \int P(x)dx} \left ( C + \int Q(x) \cdot e^{\int P(x)}dx \right )$ (vezi ecuație diferențială liniară de ordinul întâi) obținem:

$z =e^{- \ln x} ( \mathcal C - \int \ln x e^{\ln x} dx) = \frac 1 x (\mathcal C - \int x \ln x dx) \!$

și mai departe $z = \frac {\mathcal C}{x} + \frac x 4 - \frac x 2 \cdot \ln x. \!$

Așadar avem: $y^{-3} = \frac {\mathcal C}{x} + \frac x 4 - \frac x 2 \cdot \ln x, \; x>0, \; y \neq 0. \!$

Diferite soluții particulare se obțin precizând condițiile inițiale.

Familia Bernoulli
Jacques Bernoulli (Jakob Bernoulli) (1654 - 1705) Ecuația diferențială de tip Bernoulli Numerele lui Bernoulli Lemniscata lui Bernoulli Operatorul Bernoulli Inegalitatea lui Bernoulli	-frate-	Jean Bernoulli (Johann Bernoulli) (1667 – 1748) Identitatea lui Bernoulli Regula lui Bernoulli
		| fiu |
		Daniel Bernoulli (1700–1782) Legea lui Bernoulli Teoria cinetică a gazelor Teoria probabilităților