Derivata unui vector

Vectorii pot fi o funcție de unul sau mai mulți parametri scalari, devenind astfel vectori variabili. De exemplu, dacă un vector (notat la modul generic cu $\vec V \!$) ia o infinitate de valori în funcție de un parametru scalar t, atunci $\vec V \!$ este o funcție vectorială de variabilă t, ceea ce se scrie sub forma:

$\vec V = \vec V (t). \!$   (1)

Prin același procedeu din teoria funcțiilor scalare, se introduc și în studiul funcțiilor vectoriale noțiunile de limită, continuitate, derivată, diferențială, derivată parțială, integrală etc.

Astfel, derivata unei funcții vectoriale de un singur parametru scalar t este prin definiție:

$\vec V' (t) = \frac{d \vec V}{dt} = \lim_{\Delta t \to 0} \frac{\vec V (t+ \Delta t) - \vec V(t)}{\Delta t}, \!$   (2)

iar diferențiala unei funcții vectoriale de un singur parametru scalar t este:

$d \vec V = \vec V' dt. \!$   (3)

Dacă vectorul este dat prin proiecțiile sale pe un triedru trirectangular (de exemplu: componentele vectorului reprezentat în coordonate carteziene, cu versorii $\vec i \!$ pe axa x, $\vec j\!$ pe axa y și $\vec k \!$ pe axa z), adică:

$\vec V = V_x \vec i + V_y \vec j + V_z \vec k, \!$   (4)

derivata acestuia poate pusă sub forma:

$\frac{d \vec V}{dt} = \frac{d V_x}{dt} \vec i + \frac{d V_y}{dt} \vec j + \frac{d V_z}{dt} \vec k. \!$   (5)

Considerând doi vectori, $\vec u \!$ și $\vec v, \!$ atunci regulile de derivare sunt:

$\frac{d}{dt} (\vec u + \vec v) = \frac{d \vec u}{dt} + \frac{d \vec v}{dt}, \!$   (6)

$\frac{d}{dt} (\lambda \vec u) = \frac{d \lambda}{dt} \vec u + \lambda \frac{d \vec u}{dt}, \!$   (7)

$\frac{d}{dt}(\vec u \cdot \vec v) = \frac{d \vec u}{dt} \vec v + \frac{d \vec v}{dt} \vec u, \!$   (8)

$\frac{d}{dt} (\vec u \times \vec v) = \frac {d \vec u}{dt} \times \vec v + \vec u \times \frac{d \vec v}{dt} = \frac{d \vec u}{dt} \times \vec v - \frac{d \vec v}{dt} \times \vec u, \!$   (9)

$\frac{d}{dt} \left \{ \vec u [\varphi (t)] \right \} = \frac{d \vec u}{d \varphi} \cdot \frac{d \varphi}{dt}, \!$   (10)

unde $\lambda \!$ este un parametru scalar, $\vec u [\varphi (t)] \!$ este o funcție vectorială de o funcție scalară $\varphi \!$ de un parametru scalar t.

Derivatele scalare ale vectorului $\vec V = V_x \vec i + V_y \vec j + V_z \vec k \!$ sunt:

$\frac{\partial \vec V}{\partial x} = \frac{\partial V_x}{\partial x} \vec i + \frac{\partial V_y}{\partial x} \vec j + \frac{\partial V_z}{\partial x} \vec k \!$

$\frac{\partial \vec V}{\partial y} = \frac{\partial V_x}{\partial y} \vec i + \frac{\partial V_y}{\partial y} \vec j + \frac{\partial V_z}{\partial y} \vec k \!$   (11)

$\frac{\partial \vec V}{\partial z} = \frac{\partial V_x}{\partial z} \vec i + \frac{\partial V_y}{\partial z} \vec j + \frac{\partial V_z}{\partial z} \vec k \!$

Diferențiala vectorului $\vec V (x, y, z) \!$ este:

$d \vec V = \frac{\partial \vec V}{\partial x} d + \frac{\partial \vec V}{\partial y} d + \frac{\partial \vec V}{\partial z} dz .\!$   (12)

Vezi şi

• Derivată după un vector

Analiză matematică

Noţiuni de bază: Număr real, Topologie pe ℝ, Șir, Serie, Limită a unui șir, Funcție continuă

Calcul diferențial: Derivată

Calcul integral: Integrală, Integrală curbilinie (de prima speță, de speța a doua), Integrală de suprafață

Calcul vectorial: Derivata unui vector, Derivată după un vector

Calcul multivariabil: Topologie pe ℝn

Resurse

• Compendiu de matematică