Derivată după un vector

Fie o aplicație $f: U \subset \mathbb R^n \rightarrow R^p, \!$ unde U este mulțime deschisă şi fie un punct $a \in U \!$ şi un vector nenul $\mathbf h \in \mathbb R^n. \!$ Spunem că f admite derivată după vectorul $\mathbf h \!$ dacă funcţia de o variabilă reală $g(t) = f(a + t \mathbf h) \!$ este derivabilă în 0. $g'(0) \!$ se va numi derivata funcţiei f după vectorul $\mathbf h. \!$

Acest lucru este echivalent cu existenţa limitei:

\lim_{t \to 0} \frac{f(a + t \mathbf h)}{t}. \!

Derivata după un vector este o încercare de a generaliza noţiunea de derivată pentru o funcţie cu mai multe variabile. Totuşi , definiţia nu este satisfăcătoare, căci există funcţii care admit derivate după orice vector, dar nu sunt continue. De exmplu, fie funcţia:

f(x, y) = \begin{cases} \frac{y^2}{x} & daca \; x \neq 0 \\ 0 & in \; caz \; contrar.  \end{cases} \!

Atunci, pentru $\mathbf h =(a, b) \!$ avem:

\frac{f(t \mathbf h) - f(0)}{t}= \frac{b^2}{a}, \!

iar dacă a nu este nul, $\frac{f(t \mathbf h) - f(0)}{t}= 0 \!$

dacă nu, f admite o derivată după $\mathbf h. \!$ Dar $f \left ( \frac{1}{n^2}, \frac 1 n \right ) =1 \!$ nu tinde către zero, ceea ce dovedeşte că f nu este continuă în $(0, 0). \!$