Derivată

Derivata unei funcții reale de variabilă reală

$f: E \rightarrow \mathbb R, \!$ într-un punct

$x_{0},\;x_{0}\in E\!$ notată

$f'(x_{0}),\!$ este limita:

\lim _{x\to x_{0}}{\frac {f(x)-f(x_{0})}{x-x_{0}}},\!

dacă există şi este finită sau infinită.

Dacă limita este finită, funcţia se numeşte derivabilă în

$x_0. \!$ Limita raportului dintre creşterea funcţiei

$f(x)-f(x_{0})\!$ şi creşterea argumentului

$x-x_{0},\!$ când

$x\to x_{0},\!$ a fost considerată pentru prima dată de către Newton (1665), în legătură cu problema definirii vitezei, la un moment dat, a unui mobil ce se mişcă neuniform şi rectiliniu în acelaşi sens, şi de către Leibniz (1673), în legătură cu problema determinării coeficientului unghiular al tangentei la o curbă într-un punct dat. Funcţia

$f : E \rightarrow \mathbb R \!$ se numeşte derivabilă pe A

$(A\subset E),\!$ dacă este derivabilă în orice punct din A. Dacă se aplică unor funcţii derivabile operaţiile algebrice, se obţin de asemenea funcţii derivabile.

Derivata la dreapta este limita:

f'_{d}=\lim _{x\searrow x_{0}}{\frac {f(x)-f(x_{0})}{x-x_{0}}},\!

dacă există şi este finită.

Derivata la stânga este limita:

f'_{s}=\lim _{x\nearrow x_{0}}{\frac {f(x)-f(x_{0})}{x-x_{0}}},\!

dacă există şi este finită.

Aceste derivate se numesc derivate laterale.

Reguli de derivare
$(f+g)'=f'+g'\!$
${\bigg (}\sum _{i=1}^{n}f_{i}{\bigg )}'=\sum _{i=1}^{n}f'_{i}\!$
$(f\cdot g)'=f'\cdot g+f\cdot g'\!$
$(f_{1}\cdot f_{2}\cdot \ldots \cdot f_{n})'=\sum _{i=1}^{n}f_{1}\cdot f_{2}\cdot \ldots \cdot f_{i-1}\cdot f'_{1}\cdot f_{i+1}\cdot \ldots \cdot f_{n}\!$
$(f^{n})'=nf^{n-1}f'\!$
$(cf)'=cf',\;(c\in \mathbb {R} )\!$
$(-f)'=-f'\!$
$({\frac {f}{g}})'={\frac {f'g-fg'}{g^{2}}}\!$
$(f(u))'=f'(u)\cdot u'\!$