Dependență liniară a unui sistem de vectori

DEFINIŢIA 1. Fie $(V, K) \!$ un spaţiu vectorial. Un sistem finit de vectori $\{ v_1, v_2, \cdots , v_n \} \!$ din V se numeşte liniar independent dacă:

$\forall \; \alpha_1, \alpha_2, \cdots , \alpha_n \in K \!$

cu proprietatea:

$\alpha_1 v_1 +\alpha_2 v_2 + \cdots +\alpha_n v_n =0, \!$ rezultă $\alpha_1=\alpha_2= \cdots =\alpha_n = 0. \!$

DEFINIŢIA 2. Fie $(V, K) \!$ un spaţiu vectorial. Un sistem finit de vectori $\{ v_1, v_2, \cdots , v_n \} \!$ din V se numeşte liniar dependent dacă există scalarii $\alpha_1, \alpha_2, \cdots , \alpha_n \in K \!$ nu toţi nuli, astfel încât:

$\alpha_1 v_1 +\alpha_2 v_2 + \cdots +\alpha_n v_n =0. \!$

Propoziţia 1. Un sistem de vectori din spaţiul vectorial $(\mathbb R^n, R) \!$ este liniar independent dacă şi numai dacă rangul matricei având pe coloane vectorii sistemului este egal cu numărul de vectori.

Propoziţia 2. Sistemul $\{ v_1, v_2, \cdots , v_n \} \subset V \!$ este liniar dependent dacă şi numai dacă cel puţin un vector din sistem este o combinaţie liniară a celorlalţi.

Propoziţia 3. Orice subsistem al unui sistem de vectori liniar independent este liniar independent.

Propoziţia 4. Orice suprasistem al unui sistem de vectori liniar dependent este liniar dependent.

Propoziţia 5. Orice sistem de vectori care conţine vectorul nul este liniar dependent.

PROBLEME REZOLVATE

1. Se consideră vectorii $v_1 = \begin{pmatrix} -1 \\ 2 \\ -1 \end{pmatrix}, \; v_2 = \begin{pmatrix} 2 \\ -1 \\ 1 \end{pmatrix}, \; v_3 = \begin{pmatrix} 1 \\ 4 \\ -1 \end{pmatrix} \!$

din spaţiul liniar $(\mathbb R^3, \mathbb R). \!$

a) Să se arate că vectorii $v_1, v_2, v_3 \!$ sunt liniar dependenţi.

b) Să se determine o relaţie de dependenţă liniară între $v_1, v_2, v_3. \!$

c) Să se precizeze care dintre vectori se poate scrie ca o combinaţie liniară a celorlalţi.

Rezolvare:

a) Conform definţiei 2, trebuie să arătăm că există scalarii $\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3 \in \mathbb R, \!$ nu toţi nuli, astfel încât $\alpha_1 v_1 + \alpha_2 v_2 + \alpha_3 v_3 =0. \!$

Înlocuind $v_1, v_2, v_3 \!$ în această relaţie, rezultă:

$\alpha_1 \begin{pmatrix} -1 \\ 2 \\ -1 \end{pmatrix} + \alpha_2 \begin{pmatrix} 2 \\ -1 \\ 1 \end{pmatrix}+ \alpha_3 \begin{pmatrix} 1 \\ 4 \\ -1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix}0 \\0 \\0 \end{pmatrix} \!$

şi obţinem sistemul liniar omogen:

$\begin{cases} -\alpha_1 + 2 \alpha_2 + \alpha_3 = 0 \\ 2 \alpha_1 - \alpha_2 +4 \alpha_3 = 0 \\ -\alpha_1 + \alpha_2 - \alpha_3 = 0 \end{cases}. \!$

Determinantul matricei sistemului este $\Delta =0, \!$ prin urmare sistemul admite şi soluţii nebanale, deci există $\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3 \in \mathbb R, \!$ nu toţi nuli, astfel încât $\alpha_1 v_1 + \alpha_2 v_2 + \alpha_3 v_3 =0. \!$

Conform definiţiei 2, rezultă că vectorii $v_1, v_2, v_3 \!$ sunt liniar dependenţi.

b) O relaţie de dependenţă între vectorii $v_1, v_2, v_3 \!$ este o relaţie de forma: $\alpha_1 v_1 +\alpha_2 v_2 +\alpha_3 v_3 =0, \!$

cu $\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3 \in \mathbb R, \!$ nu toţi nuli. Rezolvăm sistemul liniar omogen obţinut la punctul a).

Considerăm $\alpha_1, \alpha_2 \!$ necunoscute principale şi $\alpha_3 = a, \; a \in \mathbb R, \!$ necunoscută secumdară şi obţinem:

$\begin{cases} -\alpha_1 + 2 \alpha_2 = -a \\ 2 \alpha_1 - \alpha_2 = -4a \end{cases}, \!$

prin urmare soluţia sistemului este: $\alpha_1 = -3a, \; \alpha_2 = -2a, \; a \in \mathbb R, \!$ iar o relaţie de dependenţă liniară între cei trei vectori este: $-3 a v_1 - 2a v_2 +a v_3 =0, \; a \in \mathbb R^*, \!$ sau, după simplificare, $-3 v_1 - 2 v_2 + v_3= 0. \!$

c) Deoarece vectorii sunt liniar dependenţi, conform propoziţiei 2 rezultă că

cel puţin un vector se poate scrie ca o combinaţie liniară a celorlalţi. Din relaţia de dependenţă liniară găsită la punctul b) rezultă că oricare dintre vectori se poate scrie ca o combinaţie liniară a celorlalţi, astfel: $v_1 = - \frac 2 3 v_2 + \frac 1 3 v_3, \; v_2 = -\frac 3 2 v_1 + \frac 1 2 v_3, \; v_3 = 3 v_1 + 2 v_2. \!$

2.a) Să se arate că vectorii:

$v_1 = \begin{pmatrix} 4 \\ -1 \\1 \end{pmatrix}, \; v_2= \begin{pmatrix} -1 \\ 2 \\3 \end{pmatrix},\; v_3 = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ -1 \end{pmatrix} \!$

din spaţiul liniar $(\mathbb R^3, \mathbb R) \!$ sunt liniar independenţi.

b) Să se precizeze dacă vectorul

$v_2 \!$ se poate scrie ca o combinaţie liniară a celorlalţi vectori.

Rezolvare:

a) Conform definiţiei 1, trebuie să arătăm că oricare ar fi scalarii $\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3 \in \mathbb R \!$ astfel încât $\alpha_1 v_1 +\alpha_2 v_2 +\alpha_3 v_3 =0, \!$ rezultă că $\alpha_1 = \alpha_2 = \alpha_3 = 0. \!$

Înlocuind $v_1, v_2, v_3 \!$ în relaţia de mai sus, obţinem:

$\alpha_1 \begin{pmatrix} 4 \\ -1 \\ 1 \end{pmatrix} + \alpha_2 \begin{pmatrix} -1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix} + \alpha_3 \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ -1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} \!$

şi rezultă sistemul liniar omogen:

$\begin{cases} 4 \alpha_1 - \alpha_2 + \alpha_3 = 0 \\ - \alpha_1 +2 \alpha_2 + \alpha_3 = 0 \\ \alpha_1 +3 \alpha_2 - \alpha_3 = 0 \end{cases}. \!$

Determinantul matricei sistemului este $\Delta = -25 \neq 0, \!$ prin urmare sistemul admite numai soluţia banală: $\alpha_1 = \alpha_2 = \alpha_3 = 0. \!$

Conform definiţiei 1, rezultă că vectorii $v_1, v_2, v_3 \!$ sunt liniar independenţi.

 b) Observaţie. Din propoziţia 2 rezultă că într-un sistem de vectori liniar independent niciunul dintre vectori nu se poate scrie ca o combinaţie liniară dintre ceilalţi.

Deoarece vectorii $v_1, v_2, v_3 \!$ sunt liniar independenţi, rezultă că $v_2 \!$ nu se poate scrie ca o combinaţie liniară a vectorilor $v_2 \!$ şi $v_3. \!$

 3.Să se studieze natura următoarelor sisteme de vectori din spaţiile liniare indicate:

 a) $v_1 = \begin{pmatrix} -2 \\ -1 \end{pmatrix}, \; v_2 = \begin{pmatrix} 2 \\ 3 \end{pmatrix}, \; v_3 = \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \end{pmatrix}, \!$ din $(\mathbb R^2, \mathbb R); \!$

 b) $v_1 = \begin{pmatrix} 3 \\ -1 \\ 1 \end{pmatrix}, \; v_2 = \begin{pmatrix} -1 \\ 2 \\ 4 \end{pmatrix} \!$ din $(\mathbb R^3, \mathbb R); \!$

 c) $v_1 = \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}, \; v_2 = \begin{pmatrix} -1 \\ 0 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix}, \; v_3 = \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 0 \\ -1 \end{pmatrix}, \; v_4 = \begin{pmatrix} 0 \\ 3 \\ 1 \\ -1 \end{pmatrix} \!$ din $(\mathbb R^4, \mathbb R). \!$

Rezolvare:

 a) Metoda I (folosind definiţia). Fie $\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3 \in \mathbb R \!$ astfel încât $\alpha_1 v_1 + \alpha_2 v_2 + \alpha_3 v_3 =0. \!$ Rezultă că:

$\alpha_1 \begin{pmatrix} -2 \\1 \end{pmatrix} + \alpha_2 \begin{pmatrix} 2 \\ 3\end{pmatrix} + \alpha_3 \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix} \!$ şi obţinem sistemul liniar omogen:

  $\begin{cases}-2 \alpha_1 +2 \alpha_2 + \alpha_3 =0 \\ - \alpha_1 +3 \alpha_2 - \alpha_3 =0 \end{cases} .\!$

Matricea sistemului este $A = \begin{pmatrix} -2 & 2 & 1 \\ -1 & 3 & -1 \end{pmatrix} \!$ şi are rangul 2, mai mic decât numărul de necunoscute, prin urmare sistemul este compatibil nedeterminat, deci admite şi soluţii nebanale, adică există $\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3 \in \mathbb R, \!$ nu toţi nuli, astfel încât:

  $\alpha_1 v_1 + \alpha_2 v_2 + \alpha_3 v_3 =0. \!$ Conform definiţiei 2, rezultă că $\{ v_1, v_2, v_3 \} \!$ este un sistem de vectori liniar dependent.

Metoda II (folosind propoziţia 1).

Fie A matricea formată cu componentele vectorilor:

  $A = \begin{pmatrix} -2 & 2 & 1 \\ -1 & 3 & -1 \end{pmatrix} ;\!$

avem că $rang \; A = 2 \!$ şi este diferit de numărul de vectori din sistem, prin urmare $\{ v_1, v_2, v_3 \} \!$ este un sistem de vectori liniar dependent.

 b) Metoda I (folosind definiţia). Fie $\alpha_1, \alpha_2 \in \mathbb R \!$ astfel încât $\alpha_1 v_1 + \alpha_2 v_2 =0. \!$ Rezultă că:

  $\alpha_1 \begin{pmatrix} 3 \\ -1 \\1 \end{pmatrix} + \alpha_2 \begin{pmatrix} -1 \\ 2 \\ 4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} \!$ $\!$ şi obţinem sistemul liniar omogen:

  $\begin{cases} 3 \alpha_1 - \alpha_2 = 0 \\ - \alpha_1 +2 \alpha_2 = 0 \\ \alpha_1 +4 \alpha_2 = 0 \end{cases} .\!$

Rangul matricei sistemului este egal cu 2, egal cu numărul de necunoscute, prin urmare sistemul este compatibil determinat, deci admite numai soluţia banală: $\alpha_1 = \alpha_2=0. \!$

Conform definiţiei 1, rezultă că $\{v_1, v_2 \} \!$ este un sistem de vectori liniar independent.

Vezi şi

• Bază a unui spaţiu vectorial
• Subspaţiu vectorial
• Trecerea de la o bază la alta a unui spaţiu vectorial

Resurse

• Paul's Online Math Noteswho is antonia