Curbă transcendentă

Considerăm o curbă plană $\mathcal C \!$ definită prin ecuaţia explicită:

$y= f(x), \; x \in \mathbf I \; (\mathbf I \subset \mathbb R).$

Dacă ecuaţia nu este algebrică, numim curba $\mathcal C \!$ transcendentă.

Propoziţia 1. Dacă f(x) este o funcţie periodică, atunci curba este transcendentă.

Demonstraţie Dacă $\omega \!$ este perioada, deci $f(x_0+ k \omega) = f(x_0) \!$ iar $P_0(x_0, y_0= f(x_0)) \in \mathcal C, \!$ atunci şi $P_k(x_0+ k \omega, y_0) \in \mathcal C \!$ (k - număr întreg). Dreapta $y=y_0 \!$ având o infinitate de puncte comune cu $\mathcal C, \!$ fără a fi conţinută în $\mathcal C \!$, rezultă că $\mathcal C \!$ este transcendentă.

Propoziţia 2. Dacă $f(x)= a e ^{bx} \; (b \neq 0),\!$ atunci curba este transcendentă.

Demonstraţie. Să presupunem că punctele lui $\mathcal C \!$ ar verifica o ecuație algebrică:

$F(x, y) = y^n f_0 (x) + y^{n-1} f_1(x) + \cdots + y f_{n-1}(x) =0, \!$

unde $f_i , \; i = 0,1, \cdots , n \!$ sunt polinoame. Dacă $b>0 (b<0), \!$ din $\lim_{x \to - \infty} \frac{1}{x^m} F(x, ae^{bx})=0 \!$ obţinem $A_0 =0, \!$ contrar ipotezei (că $f_n \!$ e de grad m). Curba

$\mathcal C \ : y = ae^{bx} \!$ se numeşte curba exponențială.

Aceasta taie pe Oy în A(0, a). E transformata afină a curbei $Y= e^X. \!$

Resurse

• GeometryAtlas.com