Curbă plană

Definiţie

Definiţia 1. Se numeşte curbă plană o aplicaţie $\gamma : I \subseteq \mathbb R \rightarrow \mathcal E^2 \!$ de clasă $\mathcal C^k, \; k \in \mathbb N, \!$ definită pe intervalul real I. ($\mathcal E^2 \!$ este spaţiul afin euclidian de dimensiune 2.)

Observaţie

1. Dacă $\gamma \in \mathcal C^0(I), \!$ vom spune că $\gamma \!$ este o curbă continuă.

2. Dacă $\gamma \in \mathcal C^k(I), \; k \ge 1, \!$ vom spune că $\gamma \!$ este o curbă diferenţiabilă de clasă $\mathcal C^k. \!$

3. Dacă $\gamma \in \mathcal C^{\infty}(I), \!$ adică $\gamma \!$ este o curbă ce admite derivate continue de orice ordin, atunci vom spune că $\gamma \!$ este o curbă netedă.

Mulţimea $\Gamma \overset {not}{=} \gamma (I) = \mathit {Im} (\gamma) = \{ \gamma (t) | t \in I \} \!$ se numeşte imaginea geometrică a curbei şi este o submulţime de puncte din plan:

$\Gamma = \{ M \in \mathcal E^2 \; | \; \exists t \in I \; : \; M = \gamma (t) \}. \!$

În practică, această mulţime de puncte-imagine se numeşte curbă.

Reprezentări

Pentru a obţine diferite reprezentări ale unei curbe plane, considerăm un reper afin al spaţiului euclidian $\mathcal E^2, \mathcal R_a = \{ O; \vec e_1, \vec e_2 \}. \!$ Fie $M \in \Gamma (\subset \mathcal E^2), \vec r= \vec {OM}, t \in I. \!$ Atunci $\vec r : I \rightarrow \mathcal E^2, \vec r (t) = \vec {OM} \!$ este numită o reprezentare parametrică a curbei $\Gamma. \!$ Ecuaţia:

$\vec r = \vec r (t), \; t \in I \!$   (1)

se numeşte ecuaţia vectorială a curbei.

Dacă descompunem vectorii din ecuaţia (1): $\vec r = x \vec e_1 + y \vec e_2 \!$ şi $\vec r(t) = x(t) \vec e_1 + y(t) \vec e_2, \!$ atunci obţinem:

$\begin{cases} x=x(t) \\ y=y(t) \end{cases} \; \; t \in I. \!$   (2)

numite ecuaţii parametrice ale curbei plane $\Gamma. \!$

Prin eliminarea parametrului t, se obţine o ecuaţie carteziană de forma:;

$F(x, y) =0. \!$   (3)

numită ecuaţie carteziană implicită a curbei.

Dacă putem exprima $x=g(y) \!$ sau:

$y=f(x) \!$   (4)

atunci spunem că am obţinut ecuaţia explicită a curbei.

Notă. În unele scrieri se pun şi condiţiile ca funcţiile $F, f, x, y, \vec r:\!$

• să fie reale, uniforme şi continue;
• funcţiile x, y stabilesc o corespondenţă biunivocă şi bicontinuă între punctele $M \in (\Gamma) \!$ şi mulţimea valorilor parametrului real $t \; (t \in (t_1, t_2)) \!$
• să admită derivate de ordinul întâi continue.

Definiţia 2.

1°

Se numeşte arc regulat de curbă plană, mulţimea $(\Gamma), \!$ a punctelor M din $\mathbb R^2, \!$ ale căror coordonate carteziene x, y în raport cu reperul ortonormat $\mathcal R = \{ 0, \overline i, \overline j \} \!$ al lui $\mathbb R^2 \!$ şi vectori de poziţie $\vec r \!$ satifac ecuaţia (1.1), sau ecuaţia (1.2), sau sistemul (1.3), sau ecuaţia (1.4), unde funcţiile $F, f, x, y, \dot {\vec r} \!$ îndeplinesc condiţiile numite de regularitate:

• sunt reale, uniforme şi continue;
• funcţiile x, y stabilesc o corespondenţă biunivocă şi bicontinuă între punctele $M \in (\Gamma) \!$ şi mulţimea valorilor parametrului real $t \; (t \in (t_1, t_2)); \!$
• în intervalele considerate sunt îndeplinite relaţiile:

$(F_x)^2 + (F_y)^2 \neq 0, \; \dot x ^2 (t) + \dot y^2(t) \neq 0, \; \| \dot {\vec r}(t) \| \neq 0, \!$

unde:

$F_x= \frac{\partial F}{\partial x}, \; F_y= \frac{\partial F}{\partial y}, \; \dot x(t)= \frac {dx}{dt}(t), \; \dot y(t)= \frac {dy}{dt}(t), \; \dot {\vec r}(t) = \frac {d \vec r}{dt}(t). \!$

2° Se numeste arc regulat de ordinul n, sau clasă n un arc regulat de curba plană $(\Gamma), \!$ pentru care funcţiile $F, f, x, y, \dot {\vec r} \!$ admit derivate (partiale, respectiv ordinare) continue până la şi inclusiv ordinul $n > 1 \!$, astfel încât nu toate derivatele de acelaşi ordin să se anuleze.

3° Se numeşte curbă regulată de ordinul n, sau curbă de clasă n, pe scurt: curbă, o reuniune de arce regulate de ordinul n, care au extremităţile, eventual, puncte singulare (în sensul definiţiei 1.3), adică:

$(\Gamma) = \underset {i \in I}{\bigcup}(\Gamma_i). \!$

Definiţia 3.

1° Se numeşte punct singular al unei curbe plane, punctul în care nu este îndeplinită cel puţin una din condiţiile de regularitate. 2° Se numeste punct ordinar al unei curbe plane, punctul în care sunt îndeplinite toate condiţiile de regularitate.

Element de arc

Fiind dată $\Gamma \!$ o curbă plană dată de reprezentarea vectorială $\vec r = \vec r (t), \; t \in I, \!$ considerăm o nouă valoare a parametrului $t' = t+h \in I, \; h \in \mathbb R. \!$ Obţinem astfel două puncte ale curbei $\Gamma: \; M (\vec r(t)) \!$ şi $M' (\vec r(t+h)). \!$ Lungimea arcului $\Gamma_{MM'} \!$ curpins între punctele $M \!$ şi $M' \!$ se aproximează prin:

$l(\Gamma_{MM'}) = \| \vec r(t+h) - \vec r(t) \| = \| \vec {MM'} \|. \!$

Elementul de arc $ds \!$ este dat de relaţia:

$ds= \lim_{h \to 0} \| \vec r(t+h) - \vec r(t) \| = \| d \vec r \|. \!$

În continuare, vom exprima elementul de arc pentru diferite reprezentări ale curbei $\Gamma. \!$

• Dacă curba $\Gamma \!$ este dată sub formă parametrică, adică:

$\begin{cases} x=x(t) \\ y=y(t) \end{cases} \; \; t \in I, \!$

atunci elementul de arc este:

$ds = \|d \vec r \| = \| \frac {dx}{dt} \vec i + \frac {dy}{dt} \vec j \| = \sqrt {[x'(t)]^2 + [y'(t)]^2} dt \!$

• Dacă curba $\Gamma \!$ este dată prin ecuaţia carteziană, atunci pentru scrierea elementului de arc vom face o parametrizare naturală, şi anume:

$\begin{cases} x=t \\ y=y(t) \end{cases} \; \; t \in I. \!$

Înlocuind în relaţiile de mai sus, obţinem pentru elementul de arc următoarea relaţie:

$ds = \sqrt {1 + [y'(x)]^2} dx. \!$

Observaţie Pentru a obţine o reprezentare polară a elementului de arc, trebuie să exprimăm coordonatele carteziene în coordonate polare, în următorul mod:

$\begin{cases} x= \rho(\varphi) \cos \varphi, & \rho >0 \\ y = \rho(\varphi) \sin \varphi, & \varphi \in [0, 2 \pi] \end{cases} \!$

Elementul de arc în coordonate polare este:

$ds = \sqrt {\rho^2 + [\rho']^2}d \varphi \!$

În toate cazurile, lungimea unui arc finit de curbă corespunzător punctelor $M_0 (\vec r (t_0)), M_1 (\vec r (t_1)) \!$ se calculează cu formula:

$l(\Gamma_{M_0 M_1}) = \int_{t_0}^{t_1} ds. \!$   (5)

Exemplu. Fie curba plană dată prin ecuaţia vectorială:

$\Gamma: \; \; \vec r =(t-1) \vec i + (t^2 +2) \vec j \!$

Ecuaţiile parametrice asociate curbei sunt:

$\begin{cases} x=t-1 \\ y= t^2 +2 \end{cases} t \in \mathbb R \!$

iar ecuaţia carteziană asociată curbei este:

$y=(x+1)^2+ 2 \!$

Elementul de arc în cazul parametric este:

$ds = \sqrt {[x'(t)]^2 +[y'(t)]^2} dt = \sqrt {1+4t^2} dt \!$

iar în cazul cartezian:

$ds= \sqrt {1 +4 (x+1)^2}dx \!$

Dacă considerăm punctele $M_0 (t_0=0) \!$ şi $M_1 (t_1=1) \!$ de pe curbă, atunci lungimea arcului cuprins între punctele $M_0 \!$ şi $M_1 \!$ este:

$l(\Gamma_{M_0 M_1}) = \int_{t_0}^{t_1} ds = \int_0^1 (1+4t^2) dt = \frac 7 3. \!$

Parametrizare curbe plane

---

Vezi şi

• Curbă în spaţiu
• Tangenta la o curbă plană
• Curbura unei curbe plane
• Teorema fundamentală a geometriei curbelor plane

Resurse

• Curbe în plan
• Parametrização de algumas curvas planas
• Applet