Cerc osculator

$Osculating circle - examples$

Fie curba plană $\Gamma \!$ de clasă k, $k>2. \!$ Se studiază existenţa unui cerc al cărui contact cu $\Gamma \!$ în punctul ordinar $M_0 \in (\Gamma) \!$ să fie de cel puţin ordinul 2.

DEFINIŢIA 1.24. Se numeşte cerc osculator al unei curbe plane într-un punct ordinar, cercul care are curba în punctul ordinar un contact de cel puţin ordinul 2.

În scopul studierii existenţei cercului osculator, fie curba $\Gamma \!$ dată în reprezentare parametrică:

{\displaystyle (\Gamma): \begin{cases} x = x(t), \\ y=y(t), & t \in (t_1, t_2) \subseteq \mathbb R \end{cases}}

(1)

şi $M_0 \in (\Gamma) \!$ un punct ordinar, corespunzător la $t=t_0. \!$ Se caută ecuaţia cercului sub formă implicită:

(\mathcal C): \; (x- \alpha)^2 + (y- \beta)^2 - R^2 = 0, \!

(2)

unde $(\alpha, \beta) \!$ - coordonatele centrului cercului şi R - raza cercului, se determină din condiţiile de contact. În conformitate cu teorema 1.4 în care:

\phi(t) =[x(t)-\alpha]^2+[y(t)-\beta]^2-R^2, \!

(3)

\phi'(t) =2 \{[x(t)-\alpha] \dot x(t)+ [y(t)-\beta] \dot y(t) \}, \!

(4)

\phi''(t) =2 \{[x(t)-\alpha] \ddot x(t)+ [y(t)-\beta] \ddot y(t)+ \dot x^2(t) + \dot y^2(t) \}, \!

(5)

condiţiile de contact de cel puţin ordinul 2 între $(\Gamma) \!$ şi $(\mathcal C) \!$ în $M(t_0) \!$ sunt:

\phi(t_0)=\phi'(t_0)=\phi''(t_0). \!

(6)

Rezultă că $\alpha, \beta, R \!$ sunt soluţiile sistemului de ecuaţii:

${\displaystyle \begin{cases} (x_0 - \alpha)^2+(y_0-\beta)^2-R^2=0, \\ (x_0-\alpha) \dot x_0 + (y_0-\beta) \dot y_0 =0, \\ (x_0-\alpha) \ddot x_0 + (y_0-\beta) \ddot y_0 = -(\dot x_0^2 + \dot y^2_0), \end{cases}}$ (7)

unde

x_0=x(t_0), \; y_0=y(t_0), \; \dot x_0= \dot x(t_0), \; \dot y_0=\dot y(t_0), \; \ddot x_0= \ddot x(t_0), \; \ddot y_0=\ddot y(t_0). \!

(8)

Dacă se consideră necunoscutele $(x_0-\alpha), \; (y_0-\beta) \!$ în sistemul format de ultimele două ecuaţii de mai sus, în ipoteza:

\begin{vmatrix} \dot x_0 & \dot y_0 \\  \ddot x_0 & \ddot y_0 \end{vmatrix}=0,

(9)

prin regula lui Cramer se obţine:

x_0-\alpha=\frac{\dot y_0(\dot x^2_0 +\dot y^2_0 )}{\dot x_0 \ddot y_0 -\ddot x_0 \dot y_0 } \!

,

y_0-\beta=\frac{\dot x_0(\dot x^2_0 +\dot y^2_0 )}{\dot x_0 \ddot y_0 -\ddot x_0 \dot y_0 }. \!

(10)

de unde se deduc pentru coordonatele centrului cercului osculator expresiile:

$\alpha=x_0 - \frac{\dot y_0(\dot x^2_0 +\dot y^2_0 )}{\dot x_0 \ddot y_0 -\ddot x_0 \dot y_0 } \!$ (11)

$\beta= y_0 +\frac{\dot x_0(\dot x^2_0 +\dot y^2_0 )}{\dot x_0 \ddot y_0 -\ddot x_0 \dot y_0 } . \!$ (12)

Pentru a afla raza cercului, se înlocuiesc valorile pentru $(x_0-\alpha) \!$ şi $(y_0-\beta) \!$ în ecuaţia $\phi(t_0)=0 \!$ şi se obţine:

R=\frac{(\dot x^2_0 +\dot y^2_0 )^2}{|\dot x_0 \ddot y_0 -\ddot x_0 \dot y_0|}. \!

(13)

Dacă curba plană $(\Gamma) \!$ este dată în reprezentare explicită:

(\Gamma): \; y=f(x), \; x \in (x_1, x_2) \subseteq \mathbb R, \!

(14)

atunci prin trecerea la reprezentarea parametrică:

(\Gamma): \; \begin{cases} x=t \\ y=f(t), & t \in (t_1, t_2) \subseteq \mathbb R, \end{cases}

(15)

se obţine:

\dot x =1, \; \ddot x =0 , \; \dot y= f', \; \ddot y = f'', \;  t_0=x_0.\!

(16)

şi deci coordonatele centrului cercului osculator şi raza cercului osculator, într-un punct ordinar $M_0(x_0) \in (\Gamma) \!$ la curba dată în reprezentare explicită, sunt date de:

{\displaystyle \alpha = x_0-\frac{y'_0 (1+{y'}^2_0)}{y''_0}, \; \beta = y_0+\frac{(1+{y'}^2_0)}{y''_0}, \; R=\frac{(1+{y'}^2_0)^{3/2}}{|y''_0|}.\!}

(17)

Pentru a răspunde complet la problema existenţei cercului osculator, trebuie cercetat cazul:

\begin{vmatrix} \dot x_0 & \dot y_0 \\  \ddot x_0 & \ddot y_0 \end{vmatrix}=0,

(18)

sau pentru reprezentarea explicită $(\Gamma): \; y=y(x), x \in (x_1, x_2) \subseteq \mathbb R, \!$ (19)

ecuaţia echivalentă:

\begin{vmatrix} 1 & y' \\ 0 & y'' \end{vmatrix}=0 \!

(20)

care conduce la ecuaţia diferenţială:

y''=0, \!

(21)

unde prin integrare, se obţine:

y=c_1 x + c_2, \!

(22)

adică ecuaţia unei familii de drepte. S-a demonstrat astfel:

TEOREMA 1.6 Orice curbă plană, de clasă cel puţin 2 în vecinătatea unui punct ordinar al ei, admite un cerc osculator şi numai unul în acel punct, care are coordonatele centrului şi raza date de expresiile:

\alpha= x_0-\frac{\dot y_0({\dot x_0}^2+{\dot y_0}^2)}{\dot x_0 \ddot y_0 - \ddot x_0 \dot y_0}, \; \beta = y_0+ \frac{\dot x_0({\dot x_0}^2+{\dot y_0}^2)}{\dot x_0 \ddot y_0 - \ddot x_0 \dot y_0}, \; R= \frac{({\dot x_0}^2+{\dot y_0}^2)^{3/2}}{\dot x_0 \ddot y_0 - \ddot x_0 \dot y_0}, \!

(23)

pentru cazul în care curba este dată în reprezentare parametrică:

(\Gamma): \; \begin{cases}x=x(t) \\ y=y(t), & t \in (t_1, t_2) \subseteq \mathbb R, \end{cases}

(24)

sau:

\alpha = x_0 - \frac{y'_0(1 + {y'_0}^2)}{y''_0}, \; \beta= y_0 + \frac{1 + {y'_0}^2}{y''_0} , R=\frac{(1 + {y'_0}^2)^{3/2}}{y''_0}, \; \!

(24)

pentru cazul în care curba este dată în reprezentare explicită:

(\Gamma): \; y=f(x), \; x \in (x_1, x_2) \subseteq \mathbb R. \!

(25)

DEFINIŢIA 1.25. Punctul $M_0(t_0) \in (\Gamma) \!$ se numeşte punct de inflexiune al curbei $(\Gamma) \!$ dacă în el se verifică condiţia:

\begin{vmatrix} \dot x_0 & \dot y_0 \\ \ddot x_0 & \ddot y_0  \end{vmatrix}=0. \!

(26)

OBSERVAŢIA 1.5 Se remarcă deci, că în punctele dreptelor, în punctele unui arc - segment de dreaptă - al unei curbe, în punctele de inflexiune ale unei curbe, nu se poate ataşa cerc osculator.

EXEMPLUL 1.4 Să se determine ecuaţia cercului osculator la elipsă în punctul de intersecţie al acesteia cu semiaxa pozitivă a absciselor. $\!$