Centru de greutate

Se mai numeşte şi baricentru [gr. barus "greu", ketron "indicator"].

Aplicaţii

Problema 1

Dacă centrul de greutate al uinui patrulater inscriptibil este şi centrul cercului circumscris, atunci patrulaterul este dreptunghi.

Soluţie. Centrul de greutate este caracterizat de egalitatea:

$\overrightarrow {GA} +\overrightarrow {GB} +\overrightarrow {GC} +\overrightarrow {GD}=0 \!$

Deci $\overrightarrow {OA} +\overrightarrow {OB} =-(\overrightarrow {OD} + \overrightarrow {OC}). \!$ De aici rezultă că $\overrightarrow {OM} = -\overrightarrow {ON} \!$ ceea ce ne spune că O, M şi N sunt coliniare şi cum $AB \perp OM \!$ şi $CD \perp N, \!$ va rezulta că $AD \| BC \!$ şi deci patrulaterul ABCD este paralelogram inscriptibil deci dreptunghi.

Problema 2

Fie ABCDE un pentagon convex. Numim dreaptă centrată o dreaptă care trece prin centrul de greutate al unui triunghi format din trei vârfuri consecutive şi mijlocul laturii determinate de celelalte două. Să se arate că cele cinci drepte centrate sunt concurente.

Soluţie. Dacă $G_1, G_2 \!$ sunt centrele de greutate ale triunghiurilor EAB şi respectiv CAB, iar P mijlocul segmentului CD şi Q mijlocul segmentului DE atunci, aplicând reciproca teoremei lui Thales în triunghiul EMC va rezulta că:

$G_1G_2 \| MC \!$ şi $\frac{G_1G_2}{EC}= \frac 1 3 \!$   (1)

Deoarece QP este linie mijlocie în triunghiul EDC rezultă că:

$QP \| EC \!$ şi $QP=\frac 1 2EC \!$   (2)

Din (1) şi (2) rezultă că:

$G_1G_2 \| QP \!$ şi $\frac{G_1G_2}{QP}= \frac 2 3, \!$

de unde dacă notăm $\{H\} = G_1P \cap G_2Q. \!$ se deduce că $G_2Q \!$ determină pe $G_1P \!$ raportul constant:

$\frac{G_1H}{HP} = \frac 2 3. \!$

Analog şi celelalte drepte centrate vor trece prin H şi deci cele cinci drepte centrate sunt concurente. QED.

Vezi şi

• Centru de masă

Resurse

• Centru de greutate (p. 175)