Calcul vectorial/Preliminarii

Preliminarii

În această lucrare sunt presupuse cunoscute:

• funcţiile elementare ca cele trigonometrice, exponenţiale, logaritmice;
• calculul diferenţial şi integral al funcţiilor de o variabilă reală
• elementele de bază din geometria analitică în plan.

În secţiunile 1.3 şi 1.5 vor fi expuse noţiuni legate de calculul matricial.

În cele ce urmează se vor prezenta câteva din notaţiile utilizate ulterior. Mulţimea numerelor reale este notată $\mathbb{R}.$ Aceasta conţine numerele întregi $\cdots, -3, -2, -1, 0 , 1, 2, 3 , \cdots,$ numerele raţionale $\frac pq,$ unde $p$ şi $q$ sunt întregi $(q \neq 0);$ şi numerele iraţionale, cum ar fi $\sqrt 2, \pi, e.$

Elementele lui $\R$ pot fi reprezentate ca puncte pe o dreaptă (dreapta reală).

Reprezentarea unor puncte pe dreapta reală

Dacă $a,b\in \mathbb{R}$ atunci se poate defini intervalul închis $[a, b]$ ca fiind format din toate numerele $x \in \R$ cu proprietatea $a \le x \le b$ şi intervalul deschis $(a,b)$ conţinând toate numerele $x \in \R$ pentru care $a<x <b.$ În mod similar se pot defini intervalele semideschise $(a, b]$ şi $[a, b).$

Reprezentarea geometrică a intervalelor $[a,b], \; (c,d)$ şi $[e,f).$

Valoarea absolută a unui număr $a \in \R$ este definită ca:

$|a| = \begin{cases} a & dac \breve a \; a \ge 0 \\ -a & dac \breve a \; a<0. \end{cases}$

Se consideră cunoscută inegalitatea $|a+b| \le |a|+ |b|, \; \forall a, b \in \mathbb R.$

Distanţa dintre punctele $a$ şi $b$ este $|a-b|.$

Se presupun cunoscute concepte ca submulţime, reuniune şi intersecţie a mulţimilor.

Exemplu de grafic al unei funcţii definite pe un interval semideschis

O funcţie (aplicaţie sau transformare) $f:A \to B$ reprezintă o lege, regulă prin care oricărui element $a \in A$ i se asociază un element din $B.$ $A$ se numeşte domeniul de definiţie al funcţiei, iar $B$ codomeniul. Mulţimea $\{ f(x) | \; x \in A \}$ care este alcătuită din toate valorile lui $f(x),$ se numeşte imaginea funcţiei $f$ şi se notează $Im \; f.$ Se observă că $Im \; f \subseteq B.$

Faptul că funcţia $f$ trimite $a$ către $f(a)$ se notează $a \mapsto f(a).$

Graficul unei funcţii $f$ este mulţimea punctelor din plan de coordonate $(x, f(x)).$

Notaţia $\sum_{i=1}^{n}a_i$ înseamnă $a_1+a_2 + \cdots + a_n,$ unde $a_1, a_2, \cdots , a_n \in \mathbb R.$

Se presupune cunoscută suma primilor $n$ naturale:

$1 + 2 + 3 + \cdots + n= \sum_{i=1}^n i = \frac {n(n+1)}{2}.$

Derivata unei funcţii $f(x)$ se notează $f'(x)$ sau $\frac {\mathit df}{\mathit dx},$ iar integrala definită se scrie $\int_a^b f(x) \mathit dx.$

Dacă se scrie $y=f(x),$ atunci derivata se mai poate nota $\frac {\mathit dy}{\mathit dx}.$

Se mai utilizează notaţiile:

$e^x= \exp x, \; \sin^{-1}x= \arcsin x, \; \cos ^{-1}x = \arccos x, \; \tan^{-1} x = \arctan x.$