Şiruri de vectori liberi [ ] Definiţia 1 .
Se numeşte şir de vectori liberi o aplicație a mulţimii numerelor naturale
N
{\displaystyle \mathbb N \!}
vectorilor liberi
V
3
{\displaystyle V_3 \!}
n
∈
N
⟶
a
→
n
∈
V
3
{\displaystyle n \in \mathbb N \longrightarrow \vec a_n \in V_3 \!}
(1) O astfel de aplicaţie va fi notată succint în forma
{
a
→
n
}
n
∈
N
.
{\displaystyle \{\vec a_n \}_{n \in \mathbb N}. \!}
Fie
B
0
=
{
e
→
1
0
,
e
→
2
0
,
e
→
3
0
}
.
{\displaystyle B^0 = \{ \vec e_1^0, \vec e_2^0, \vec e_3^0 \}. \!}
a
→
n
=
a
1
n
e
→
1
0
+
a
2
n
e
→
2
0
+
a
3
n
e
→
3
0
,
a
1
n
,
a
2
n
,
a
3
n
∈
R
,
n
∈
N
{\displaystyle \vec a_n = a_{1n} \vec e_1^0 + a_{2n} \vec e_2^0 + a_{3n} \vec e_3^0 , \; a_{1n}, a_{2n}, a_{3n} \in \mathbb R, \; n \in \mathbb N \!}
(2) unde
{
a
1
n
}
n
∈
N
,
{
a
2
n
}
n
∈
N
,
{
a
3
n
}
n
∈
N
,
{\displaystyle \{a_{1n} \}_{n \in \mathbb N}, \{a_{2n} \}_{n \in \mathbb N}, \{a_{3n} \}_{n \in \mathbb N} , \!}
șiruri de numere reale .
Prin urmare, odată fixată o bază în
V
3
,
{\displaystyle V_3, \!}
{
a
→
n
}
n
∈
N
{\displaystyle \{\vec a_n \} _{n \in \mathbb N} \!}
{
b
→
n
}
n
∈
N
,
{\displaystyle \{\vec b_n \} _{n \in \mathbb N}, \!}
{
s
→
n
}
n
∈
N
,
{\displaystyle \{\vec s_n \} _{n \in \mathbb N}, \!}
suma celor două şiruri, prin:
s
→
n
=
a
→
n
+
b
→
n
,
n
∈
N
.
{\displaystyle \vec s_n = \vec a_n + \vec b_n , \; n \in \mathbb N. \!}
(3) Definiţia 2 .
Şirul de vectori liberi
{
a
→
n
}
n
∈
N
{\displaystyle \{\vec a_n \} _{n \in \mathbb N} \!}
convergent către vectorul liber
a
→
∈
V
3
{\displaystyle \vec a \in V_3 \!}
lim
n
→
∞
a
→
n
=
a
→
{\displaystyle \lim_{n \to \infty} \vec a_n = \vec a \!}
∀
ε
>
0
⇒
∃
N
∈
N
{\displaystyle \forall \varepsilon >0 \; \Rightarrow \; \exists N \in \mathbb N \!}
|
a
→
n
−
a
→
|
<
ε
,
∀
n
>
N
.
{\displaystyle |\vec a_n - \vec a|< \varepsilon, \; \forall n>N. \!}
(4) Observaţie.
În viziune "hodografică " şirul
{
a
→
n
}
n
∈
N
{\displaystyle \{\vec a_n \} _{n \in \mathbb N} \!}
a
→
{\displaystyle \vec a\!}
a
→
n
{\displaystyle \vec a_n \!}
O
∈
E
3
{\displaystyle O \in E_3 \!}
sferei de rază
ε
>
0
{\displaystyle \varepsilon >0 \!}
O al vectorului
a
→
,
{\displaystyle \vec a, \!}
ε
>
0.
{\displaystyle \varepsilon >0. \!}
Numărul natural N din definiţia 2 depinde de numărul pozitiv
ε
>
0
,
N
=
N
(
ε
)
.
{\displaystyle \varepsilon >0, \; N=N(\varepsilon). \!}
vector liber se demonstrează următoarele teoreme:
Teorema 1.
Resurse [ ] 
