Șir

Şiruri de numere reale[]

DEFINIŢIE. O funcţie definită pe mulţimea numerelor naturale $\mathbb N = \{ 1, 2, 3, \cdots , n, \cdots \} \!$ şi cu valori în mulţimea $\mathbb R^1 \!$ a numerelor reale se numeşte şir de numere reale.

COMENTARIU: Valoarea funcţiei, care defineşte şirul de numere reale, în 1 se notează cu $a_1, \!$ valoarea în 2 se notează cu $a_2, \cdots ,\!$ valoarea în n cu $a_n, \cdots .\!$

Tradiţional $a_1 \!$ se numeşte primul termen al şirului, $a_2 \!$ cel de-al doilea termen al şirului, $\cdots , a_n \!$ cel de-al n-lea termen al şirului sau termenul general.

Şirul $a_a, a_2, \cdots , a_n, \cdots \!$ se notează tradiţional cu $(a_n). \!$ Pentru a defini un şir trebuie să definim toţi termenii şirului. Altfel spus trebuie dată o regulă care permite determinarea fiecărui termen al şirului.

Şirul $(a_n)_{n \in \mathbb N^*} \!$ este convergent către a (finit) dacă oricare ra fi vecinătatea $V(a), \!$ acesta lasă în afară ei doar un număr finit de termeni ai şirului.

Şirul $(a_n)_{n \in \mathbb N^*} \!$ este convergent către a (finit) dacă pentru orice $\varepsilon >0, \!$ există un număr natural $N_{\varepsilon} \!$ astfel încât oricare are fi $n \ge N_{\varepsilon} \!$ avem: $|a_n-a| < \varepsilon. \!$

$Sir de numere reale 1$ $Sir de numere reale 2$

EXEMPLE:

$a_n = q^{n-1}, \; q \neq 0; \; \; a_1=1, \; a_2=q; \; a_3=q^2; \; \cdots \; a_n=q^{n-1}, \; \; \cdots \!$

$a_n=\frac 1 n; \;\; a_1=1; \; a_2=\frac 1 2; \; a_3=\frac 1 3; \; \cdots \; a_n=\frac 1 n; \; \cdots \!$

$a_n=\frac {1 + (-1)^n}{2}; \; \; a_1=0; \; a_2=1; \; a_3=0; \; \cdots \; a_n=\frac {1 + (-1)^n}{2}; \; \cdots \!$

DEFINIŢIA 2. Şirul $(a_n) \!$ este crescător dacă pentru orice $n \in \mathbb N \!$ are loc inegalitatea $a_n \le a_{n+1}. \!$

DEFINIŢIA 3. Şirul $(a_n) \!$ este descrescător dacă pentru orice $n \in \mathbb N \!$ are loc inegalitatea $a_n \ge a_{n+1}. \!$

DEFINIŢIA 4. Un şir $(a_n) \!$ este monoton dacă este crescător sau este descrescător.

EXEMPLU. Dacă $q>1 \!$ atunci şirul $a_n=q^n \!$ este crescător, iar dacă $q \in (0, 1) \!$ atunci şirul $a_n=q^n \!$ este descrescător. Dacă $q \in (0, \infty) \!$ şi $q \neq 1 \!$ atunci şirul $a_n=q^n \!$ este monoton.

DEFINIŢIA 5. Un şir $(a_n) \!$ este mărginit dacă există un număr $M>0 \!$ astfel încât pentru orice $n \in \mathbb N \!$ are loc inegalitatea $|a_n| \le M. \!$

Dacă $q \in (0, 1) \!$ atunci şirul $a_n=q^n \!$ este mărginit $(|a_n| <1 ).\!$ Şirul $a_n= (-1)^n \!$ este mărginit ( $(|a_n| \le 1 ) \!$ ).

Dacă $q>1 \!$ atunci şirul $a_n=q^n \!$ este nemărginit.

DEFINIŢIA 6. Un şir $(a_n) \!$ este nemărginit dacă nu este mărginit. Altfel spus, pentru orice $M>0 \!$ există $n_M \in \mathbb N \!$ asfel încât $|a_{n_M}| > M. \!$

Dacă $q>1 \!$ atunci şirul $a_n=q^n \!$ este nemărginit.

DEFINIŢIA 7. Un subşir al şirului $(a_n) \!$ este un şir de forma $(a_{n_k}) \!$ unde $(n_k) = n_1, n_2, \cdots \; \!$ este un şir strict crescător de numere naturale.