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q-類似(きゅうるいじ、英: q-analog, q-analogue)とは、理論に q → 1 の極限で、元の理論に一致するように径数 q を導入するような拡張のことをいう。q-拡張(英: q-extension)などとも呼ばれる。

q数

最も基本的な q-数 [n]q とは、自然数 nq-類似であって、q → 1 の極限で [n]qn となるように

と定義される。

q階乗

またq-階乗 [n]q! は、q-数によって

と定義される。ただし (q; q)n はqポッホハマー記号を表す。

このとき Snn 次の対称群inv(σ)置換 σ転倒数として、

が成り立つ。これは の極限で、通常の階乗 個のものを並べる順列の総数を表すことに対応している。 また有限体 Fq 上の一般線型群 GL(n, q)位数

と表せる。

qポッホハマー記号

数学において、qポッホハマー記号(q-Pochhammer symbol)はq-類似の数式に頻出する乗積を略記する記号である[1]

の仮定が普通であり、実用上、整数であることが多い。が整数である場合は

となる。が整数であり、であるとき、であればであり、であればである。

更なる略記

基底(base)が文字である場合は省略することがある。

複数のqポッホハマー記号が並ぶときは合成することがある。

変換式

以下の変換式が成立する。

q二項係数

q-二項係数は、二項係数q-類似で、

によって定義される。q素数のべきのとき、q-二項係数は有限体 Fq 上の n 次元線型空間内における k 次元部分空間の数に等しい。

より一般に q-多項係数は n = k1 + … + km のとき

によって定義される[2]。 このとき

のようなよく知られた等式の類似が成り立つ。

q二項定理

数学において、q二項定理(q-binomial theorem)は二項定理のq-類似である[3]超幾何級数 の和は通常の二項定理

で与えられる。これに倣い、q超幾何級数の和を与える公式

をq二項定理と呼ぶ。ただし、ポッホハマー記号はqポッホハマー記号である。

証明

右辺をとして関数方程式を導く。

これにより、左辺を得る。

別証明

左辺をとして関数方程式を導く。

テイラー級数に展開しての係数を比較すると

となり、であるから

となる。これにより、右辺を得る。

コーシーの二項定理

コーシーの二項定理はq二項定理の特殊な場合である[4]

ただし、

はq二項係数である。q二項定理にを代入すると

となるが、左辺はとなり、右辺はの分子がの分母を打ち消す。従って、

である。左辺はqポッホハマー記号の変換式により、

となる。

q微分

q-微分は微分q-類似で、任意の関数 ƒ(x) について q-微分を

によって定義する。さらに導関数q-類似である q-導関数は

によって定義される[5]

q三角関数

qガンマ関数

q超幾何級数

数学において、q超幾何級数(qちょうきかきゅうすう、q-hypergeometric series)は超幾何級数のq-類似である。q超幾何級数は

の形式で表される級数[6]であるが、中でも

が多く研究されている。但し、

はqポッホハマー記号である。なお、厳密にいうと、右辺の級数がq超幾何級数であり、左辺の記号は級数の和によって定義されるq超幾何関数を表すものである。


q超幾何級数の和公式

ハイネの和公式

ハイネの和公式(Heine's summation formula)はガウスの超幾何定理のq-類似である[7]

ハイネの変換式(Heine's transformation)はq超幾何級数に関わる恒等式である。

但し、はqポッホハマー記号である。

証明

ハイネの変換式はq二項定理から導かれる。

ハイネの和公式はハイネの変換式にを代入することにより得られる。

ラマヌジャンの和公式

ラマヌジャンの和公式(ラマヌジャンのわこうしき、Ramanajan's summation formula)はq超幾何級数の和を与える公式である[8]

証明

ラマヌジャンの和公式はq二項定理から導かれる。が負の整数であれば

であるから、q二項定理は

と書ける。を任意の正の整数として

であるから

である。と書き、qポッホハマー記号の変換式

により

となり、と書き、

となる。さて、左辺は

であるから、で収束する。従って、両辺ともの関数として考えれば正則であり、で両辺が一致するから一致の定理により大局的にも一致する。

qザールシュッツの和公式

qザールシュッツの和公式(q-Saalschütz summation formula)はザールシュッツの定理のq-類似であり、q超幾何級数の和を与える公式である[9]

但し、はqポッホハマー記号である。

証明

qザールシュッツの和公式はハイネの変換式から導かれる。ハイネの変換式を反復すると

となり、q二項定理を用いて

となる。の係数を比べると

であるが、qポッホハマー記号の変換式を用いて、

を得る。に置き換えて

を得る。

関連項目

  • ヴィノグラードフの定理

出典

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