順序数の基本列

順序数の基本列 (Fundamental sequence) （あるいは収束列）とは、共終数が $\omega$ である極限順序数 $\alpha$ に対して定義され、$\alpha$ に収束するような順序数の単調増加数列である。$\alpha$ と $\alpha$ 以下のすべての極限順序数に対して基本列が定義されれば、選択公理を使わずに、$\omega$ と $\alpha$ の間の全単射、すなわち一対一の対応がつけられる。$\alpha$ の基本列の n 番目、すなわち、$\omega$ の要素と $\alpha$ の基本列を対応づけた時の n に対する値を、$\alpha[n]$ と書く。

$\epsilon_0$ 以下の極限順序数の基本列

急増加関数において、$\epsilon_0$ 以下の極限順序数 $\alpha$ の基本列を定める方法として Wainer 階層が使われる。これは、次のように定義される。$\alpha$ をカントール標準形で書いて、

1. もし $\alpha = \omega^{\beta_1} + \ldots + \omega^{\beta_{k-1}} + \omega^{\beta_{k}}$ (ここで、$\beta_1 \ge \ldots \ge \beta_{k-1} \ge \beta_k)$ であれば、$\alpha [n]=\omega ^{\beta _{1}}+\ldots +\omega ^{\beta ^{k-1}}+\omega ^{\beta _{k}[n]}$
2. もし $\alpha = \omega^{\beta+1}$ であれば、$\alpha[n] = \omega^\beta n$
3. もし $\alpha = \omega^{\beta}$ となり、$\beta$ が極限順序数であれば、$\alpha[n] = \omega^{\beta[n]}$
4. もし $\alpha =\epsilon _{0}$ であれば、$\alpha[0] = 0$ として、$\alpha[n + 1] = \omega^{\alpha[n]}$ とする。あるいは、$\alpha[0] = 1$ から始めることもできる。

例

$\alpha = \omega^{(\omega^{\omega^5 \cdot 3 + \omega \cdot 2 + 1} \cdot 2 + \omega^5 + 21)} \cdot 4 + \omega^\omega \cdot 3$ の基本列は、

• $\alpha = \omega^{(\omega^{\omega^5 \cdot 3 + \omega \cdot 2 + 1} \cdot 2 + \omega^5 + 21)} \cdot 4 + \omega^\omega \cdot 2 + \omega^\omega$ と書き直す
• ルール1において、$\beta_k = \omega$ であるから、$\beta_k[n] = n$
• よって、$\alpha[n] = \omega^{(\omega^{\omega^5 \cdot 3 + \omega \cdot 2 + 1} \cdot 2 + \omega^5 + 21)} \cdot 4 + \omega^\omega \cdot 2 + \omega^n$

$\alpha = \omega^{(\omega^{\omega^5 \cdot 3 + \omega \cdot 2 + 1} \cdot 2 + \omega^5 + 21)} \cdot 4$ の基本列は、

• $\alpha = \omega^{(\omega^{\omega^5 \cdot 3 + \omega \cdot 2 + 1} \cdot 2 + \omega^5 + 21)} \cdot 3 + \omega^{(\omega^{\omega^5 \cdot 3 + \omega \cdot 2 + 1} \cdot 2 + \omega^5 + 21)}$ と書き直す
• 最後の項が $\alpha = \omega^{\beta+1}$ の形になっているので、$\alpha[n] = \omega^\beta n$ を使う
• すなわち、$\alpha[n] = \omega^{(\omega^{\omega^5 \cdot 3 + \omega \cdot 2 + 1} \cdot 2 + \omega^5 + 21)} \cdot 3 + \omega^{(\omega^{\omega^5 \cdot 3 + \omega \cdot 2 + 1} \cdot 2 + \omega^5 + 20)}\cdot n$