連分数 (れんぶんすう、英: continued fraction )とは、分母に更に分数 が含まれているような分数のことを指す。分子が全て 1 である場合には特に単純連分数 または正則連分数 (英: regular continued fraction )ということがある。単に連分数といった場合、正則連分数を指す場合が多い。具体的には次のような形である。
x
=
a
0
+
1
a
1
+
1
a
2
+
1
a
3
{\displaystyle x = a_0 + \cfrac{1}{a_1 + \cfrac{1}{a_2 + \cfrac{1}{a_3}}}}
ここで a 0 は整数 、それ以外の an は正の整数である。正則連分数は、最大公約数 を求めるユークリッドの互除法 から自然に生じるものであり、古来からペル方程式 の解法にも利用された。
連分数を式で表す際には次のような書き方もある。
x
=
a
0
+
1
a
1
+
1
a
2
+
1
a
3
{\displaystyle x=a_0 +\frac{1}{a_1 +{}}\, \frac{1}{a_2 +{}}\, \frac{1}{a_3}}
または
x = [a 0 ; a 1 , a 2 , a 3 ]
また、極限 の概念により、分数を無限 に連ねたものも考えられる。
[
a
0
;
a
1
,
a
2
,
a
3
,
…
]
=
lim
n
→
∞
[
a
0
;
a
1
,
a
2
,
…
,
a
n
]
{\displaystyle [a_0 ;a_1 ,a_2 ,a_3 ,\ldots ]=\lim_{n\to \infty} [a_0 ;a_1 ,a_2 ,\ldots ,a_n ]}
二次無理数(整数係数二次方程式 の根である無理数 )の正則連分数展開は必ず循環することが知られている。逆に、正則連分数展開が循環する数は二次無理数である。
連分数展開の例 [ ]
例として黄金数 φ を考える[1] 。φ は x 2 − x − 1 = 0 の正の解である。この式を変形すると、
x
2
=
x
+
1
x
=
1
+
1
x
=
1
+
1
1
+
1
x
=
1
+
1
1
+
1
1
+
1
x
{\displaystyle \begin{align}
x^2 &=x+1 \\
x &=1+\frac{1}{x} \\
&=1+\cfrac{1}{1+\cfrac{1}{x}} \\
&=1+\cfrac{1}{1+\cfrac{1}{1+\cfrac{1}{x}}}
\end{align}}
以下同様にして、
ϕ
=
1
+
1
1
+
1
1
+
1
1
+
1
⋱
=
[
1
;
1
,
1
,
1
,
1
,
1
,
…
]
{\displaystyle \phi =1+\cfrac{1}{1+\cfrac{1}{1+\cfrac{1}{1+\cfrac{1}{\ddots}}}}
=[1;1,1,1,1,1,\ldots]}
と表すことができる。
より一般的には、x 2 − nx = 1 の根を次のように表すことができる。
n
+
1
n
+
1
n
+
1
n
+
1
n
+
⋱
=
[
n
;
n
,
n
,
n
,
n
,
…
]
=
1
2
(
n
+
n
2
+
4
)
{\displaystyle n+\cfrac{1}{n+\cfrac{1}{n+\cfrac{1}{n+\cfrac{1}{n+\ddots \,}}}} =[n;n,n,n,n,\dots ]=\frac{1}{2} \left( n+\sqrt{n^2 +4} \right)}
連分数の計算方法 [ ]
いまある数 ω が与えられたとする。ω を超えない最大の整数を a 0 とし、
ω
=
a
0
+
1
ω
1
{\displaystyle \omega =a_0 +\frac{1}{\omega_1}}
となるよう ω 1 を定める。ω 1 が整数でないならば、ω 1 を超えない最大の整数を a 1 とし、
ω
1
=
a
1
+
1
ω
2
{\displaystyle \omega_1 = a_1 +\frac{1}{\omega_2}}
となるように ω 2 を定めることができる。以下この作業を繰り返すことにより、n 段までの連分数
a
0
+
1
a
1
+
1
a
2
+
1
⋱
a
n
−
1
+
1
ω
n
{\displaystyle a_0 +\cfrac{1}{a_1 +\cfrac{1}{a_2 +\cfrac{1}{\ddots a_{n-1} +\cfrac{1}{\omega_n}}}}}
を求めることができる。もし ω が有理数 ならば、この作業は有限回で終了するが、無理数 ならば無限にこの作業が続く。
p
n
q
n
{\displaystyle \frac{p_n}{q_n}}
は ω に収束する。すなわち上記の作業を繰り返すことによりいくらでも実数 ω に近い有理数を求めることができる。また、ω と連分数の差は
|
ω
−
p
n
q
n
|
<
1
q
n
2
{\displaystyle \left| \omega -\frac{p_n}{q_n} \right| <\frac{1}{{q_n}^2}}
となることが知られており、連分数はディオファントス近似 の解を求める手段として有効である。
連分数の性質 [ ]
いま、a 0 は整数 、それ以外の an は正の整数であるような数列
a
0
,
a
1
,
a
2
,
a
3
,
…
{\displaystyle a_0 ,a_1 ,a_2 ,a_3 ,\ldots}
があるとき、数列 pn , qn を以下のように定める。
{
p
0
=
1
p
1
=
a
0
p
n
=
a
n
−
1
p
n
−
1
+
p
n
−
2
(
n
≥
2
)
{
q
0
=
0
q
1
=
1
q
n
=
a
n
−
1
q
n
−
1
+
q
n
−
2
(
n
≥
2
)
{\displaystyle \begin{cases}
p_0 =1\\
p_1 =a_0\\
p_n =a_{n-1} p_{n-1} +p_{n-2} \ (n\ge 2)
\end{cases} \quad \begin{cases}
q_0 =0\\
q_1 =1\\
q_n =a_{n-1} q_{n-1} +q_{n-2} \ (n\ge 2)
\end{cases}}
このとき、連分数は
[
a
0
;
a
1
,
a
2
,
…
,
a
n
−
1
]
=
a
n
−
1
p
n
−
1
+
p
n
−
2
a
n
−
1
q
n
−
1
+
q
n
−
2
=
p
n
q
n
{\displaystyle [a_0 ;a_1 ,a_2 ,\dots ,a_{n-1} ]=\frac{a_{n-1} p_{n-1} +p_{n-2}}{a_{n-1} q_{n-1} +q_{n-2}}=\frac{p_n}{q_n}}
となる。
pn とqn にユークリッドの互除法を適用すると、割り算の商として数列 a 0 , a 1 , ... , a n −1 のn 個の整数が順番に現れる。上記の数列 pn , qn の定義は互除法の操作を逆にたどったものともいえる。
また、pn , qn は整数であるから、ユークリッドの互除法 の帰結より、pn と qn は互いに素である。つまり連分数
p
n
q
n
{\displaystyle \frac{p_n}{q_n}}
は既約分数である。
さらに |p n +1qn − pn q n +1 | = 1 である。また、pn と p n +1 および、qn と q n +1 も互いに素である。
なお数列an が全て 1 の場合、 数列pn , qn はともにフィボナッチ数列 (F 0 = 0, F 1 = 1) である。すなわち
p
n
q
n
=
F
n
+
1
F
n
{\displaystyle \frac{p_n}{q_n} =\frac{F_{n+1}}{F_n}}
である。そして、上で記したようにこの連分数は黄金比 に収束する。ゆえに隣り合うフィボナッチ数列の比は黄金比に収束する ことが分かる。
様々な数の連分数展開 [ ]
2の平方根
2
=
[
1
;
2
,
2
,
2
,
2
,
2
,
2
,
…
]
=
1
+
1
2
+
1
2
+
1
2
+
1
2
+
1
2
+
1
2
+
1
⋯
{\displaystyle \sqrt{2}=[1; 2, 2, 2, 2, 2, 2, \dots]=
1+\cfrac{1}{2+\cfrac{1}{2+\cfrac{1}{2+\cfrac{1}{2+\cfrac{1}
{2+\cfrac{1}{2+\cfrac{1}{\cdots}}}}}}}}
3の平方根
3
=
[
1
;
1
,
2
,
1
,
2
,
1
,
2
,
…
]
=
1
+
1
1
+
1
2
+
1
1
+
1
2
+
1
1
+
1
2
+
1
⋯
{\displaystyle \sqrt{3}=[1; 1, 2, 1, 2, 1, 2, \dots]=
1+\cfrac{1}{1+\cfrac{1}{2+\cfrac{1}{1+\cfrac{1}{2+\cfrac{1}
{1+\cfrac{1}{2+\cfrac{1}{\cdots}}}}}}}}
黄金数 の逆数 φ −1 = [0; 1, 1, 1, 1, 1, 1, ...]
白銀数 [1] 1 + √2 = [2; 2, 2, 2, 2, 2, 2,…]
白銀数の逆数
1
1
+
2
=
−
1
+
2
=
[
0
;
2
,
2
,
2
,
2
,
2
,
2
,
…
]
{\displaystyle \frac{1}{1+\sqrt2} =-1+\sqrt2 =[0; 2, 2, 2, 2, 2, 2,\dots]}
以上は二次無理数であるので、循環する連分数展開を持つ。
ネイピア数 は超越数 であり、その連分数展開は循環しないものの一定の規則性を持つ。
ネイピア数 e = [2; 1, 2, 1, 1, 4, 1, 1, 6, 1, 1, 8, 1, 1, 10, ...]
円周率 の正則連分数展開には規則性がないと考えられている。
円周率 π = [3; 7, 15, 1, 292, 1, 1, 1, 2, 1, 3, ...](オンライン整数列大辞典 の数列 A001203 )
円周率 の正則でない連分数で規則性を持つものが存在する。
π
=
3
+
1
2
6
+
3
2
6
+
5
2
6
+
7
2
6
+
9
2
6
+
11
2
⋱
{\displaystyle \pi=3+\cfrac{1^2}{6+\cfrac{3^2}{6+\cfrac{5^2}{6+\cfrac{7^2}{6+\cfrac{9^2}{6+\cfrac{11^2}{\ddots \,}}}}}}}
4
π
=
1
+
1
2
3
+
2
2
5
+
3
2
7
+
4
2
9
+
5
2
11
+
6
2
⋱
{\displaystyle \cfrac{4}{\pi} =1+\cfrac{1^2}{3+\cfrac{2^2}{5+\cfrac{3^2}{7+\cfrac{4^2}{9+\cfrac{5^2}{11+\cfrac{6^2}{\ddots \,}}}}}}}
力学系としての連分数 [ ]
主要記事: エルゴード理論#連分数への応用
脚注 [ ]
参考文献 [ ]
G・H・ハーディ、E・M・ライト 「第10章 連分数」『数論入門』I、示野信一・矢神毅翻訳、シュプリンガー・フェアラーク東京、2001年7月1日 。ISBN 4-431-70848-0 。
A. Ya. Khinchin (1997-05-14). Continued Fractions . Dover Books on Mathematics. Dover Publications. ISBN 0-486-69630-8 .
外部リンク [ ]