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定義

空でない集合 上の二項演算 が以下を満たすとき、組 (group)と呼ぶ。

  • (結合則)
  • ある が存在し、 をみたす (単位元の存在)
  • 任意の に対し、 が存在して をみたす (逆元の存在)

の単位元と呼ばれる。 の逆元と呼ばれる。

さらに、任意の をみたすとき(交換則) 、可換群またはアーベル群(abelian group)と呼ぶ。

性質

  • 単位元はただ一つ存在する。
  • 任意の に対し、その逆元はただ一つ存在する。の逆元は と表記される。
  • 任意の に対し、 が成り立つ。
  • 任意の に対し、 ならば が成り立つ。 ならば が成り立つ。

補足

  • 有限生成アーベル群は巡回群の直積と同型である事が知られている(有限生成アーベル群の基本定理)。
  • 群はマグマと呼ばれる代数的構造に属している。

関連項目

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