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である場合、を考えた場合、である場合、aはbの約数と呼ぶ。

このとき、記号ではと書く。

また約数でない場合、と表記する。

正の整数のみを考えている時には、単に「約数」というとき、「正の約数」を意味することがある。ここで、正の約数とは、約数であり、かつ正の整数である数を言う。

命題

のとき、 なら、 である

証明

仮定は である。

このとき、もしnが0であると仮定した場合、aは0になるので矛盾する。従って、nも同様にということがわかる。

このとき、仮定でnは整数であるとしたわけだから、同様にである。「1が最小の正の整数である」という公理より、 になる。

上の事実を利用し、を考えると、整数の性質によりになる。

とすると、絶対値aの最大は絶対値bを取ることがわかる。そして、のとき、になることはない。

従って、 のとき、 なら、 である。

の場合、 である

 まず、の場合の式を考える。これらはそれぞれ

 と考えることができる。同様にの式は

 となる。このときだったので

 とすることができる。約数に注目した場合、と見ることができる。

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