約数

$a,b\in \mathbb {Z} ,a\neq 0$である場合、$b=an$を考えた場合、$n\in \mathbb {Z}$である場合、aはbの約数と呼ぶ。

このとき、記号では$a\mid b$と書く。

また約数でない場合、$a\nmid b$と表記する。

正の整数のみを考えている時には、単に「約数」というとき、「正の約数」を意味することがある。ここで、正の約数とは、約数であり、かつ正の整数である数を言う。

命題

$a,b\in \mathbb {Z} \setminus {0}$ のとき、 $a\mid b$ なら、$|b|\leq |a|$ である

証明

仮定は $a=bn,a\neq 0,b\neq 0$ である。

このとき、もしnが0であると仮定した場合、aは0になるので矛盾する。従って、nも同様に$n\neq 0$ということがわかる。

このとき、仮定でnは整数であるとしたわけだから、同様に$|n|\in \mathbb {Z}$である。「1が最小の正の整数である」という公理より、$|n|\geq 1$ になる。

上の事実を利用し、$b=an,n=1$を考えると、整数の性質により$b=1a=a$になる。

とすると、絶対値aの最大は絶対値bを取ることがわかる。そして、$|a|=|b||n|$のとき、$|a|<|b|$になることはない。

従って、$a,b\in \mathbb {Z} \setminus {0}$ のとき、 $a\mid b$ なら、$|b|\leq |A|$ である。

$a\mid b,b\mid c$の場合、 $a\mid c$ である

　まず、$a\mid b$、$a\mid c$の場合の式を考える。これらはそれぞれ

• $b=an,n\in \mathbb {Z}$
• $c=bm,m\in \mathbb {Z}$

　と考えることができる。同様に$a\mid c$の式は

• $c=ao\in \mathbb {Z}$

　となる。このとき$c=bm$だったので

• $bm=ao$

　とすることができる。約数に注目した場合、$b\mid c$ は $a\mid c$と見ることができる。