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とは、集合に、加法 () と乗法 () と呼ばれるその集合上の二つの演算が備わった代数系である。を集合と一つの演算からなる順序対 として捉えることができたように、環を三つ組の順序対 として捉えることができる。

加法と乗法を持つ集合 が環であるとは、次の性質を満たすことをいう。

  1. 加法の可換性すべての について、
  2. 加法と乗法両方の結合性 — すべての について、 かつ
  3. 加法単位元 — すべての について となるような、加法単位元と呼ばれる「ゼロ」の要素 存在する
  4. 加法逆元 — それぞれの について、 となるような の加法逆元と呼ばれる が存在する
  5. 分配法則 — すべての について、
  6. 加法と乗法の閉包 — すべての について、 かつ

このような構造のプロトタイプとなっているのは、整数である。

2つの元の積 はしばしば と略記される。 また、乗法と加法が組み合わさった表記においては、加法が括弧で囲まれていない限りは、乗法の演算が優先される。つまり、 といった具合である。

の加法の逆元を と表記する. さらに, 減算と呼ばれる演算を で定義する.

追加の性質

上述の環の公理に加えて、環 は次のような性質を持ちうる。

  • 可換環であるとは、乗法が可換であることをいう: (任意の )
  • 単位元を持つ環単位的環) であるとは、乗法の単位元 が存在することをいう: (任意の )
    • さらに、単位元を持つ可換環 であるとは、0 以外の任意の元が乗法の逆元を持つことをいう: 任意の0でない元 に対して, 元 をみたすものが存在する. このときの  を の逆元と呼び、 と表す。
  • 整域であるとは、 が単位元を持つ可換環であり、次のゼロ乗算ルールをみたすことをいう: 任意の について, ならば または .

重要な結果

の公理から、 次が得られる。

  • はアーベル群である
  • (任意の )
  • (任意の )
  • (任意の )
  • の単位元とするとき、
    • (任意の )
  • 減算の分配法則が成り立つ: (任意の )

部分構造, 写像と商

  • 部分環
  • イデアル
  • 素イデアル
  • 極大イデアル
  • 根基
  • 冪零根基
  • 環準同型
  • 商環
  • 準同型定理

例と結果

  • 整数環
  • 中国剰余定理
  • ガウス整数環
  • 多項式環
  • 整域
  • ユークリッド環
  • 一意分解整域
  • 非可換環
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