環

体とは、集合に、加法 ( $+$ ) と乗法 ( $\cdot$ ) と呼ばれるその集合上の二つの演算が備わった代数系である。群を集合と一つの演算からなる順序対 $(G,\cdot )$ として捉えることができたように、環を三つ組の順序対 $(R,+,\cdot )$ として捉えることができる。

加法と乗法を持つ集合 $(R,+,\cdot )$ が環であるとは、次の性質を満たすことをいう。

加法の可換性 — すべての $a,b\in R$ について、 $a+b=b+a$
加法と乗法両方の結合性 — すべての $a,b,c\in R$ について、 $(a+b)+c=a+(b+c)$ かつ $(a\cdot b)\cdot c=a\cdot (b\cdot c)$
加法単位元 — すべての $a\in R$ について $a+0=a$ となるような、加法単位元と呼ばれる「ゼロ」の要素 $0\in R$ が存在する
加法逆元 — それぞれの $a\in R$ について、 $a+b=0$ となるような $a$ の加法逆元と呼ばれる $b\in R$ が存在する
分配法則 — すべての $a,b,c\in R$ について、 $a\cdot (b+c)=a\cdot b+a\cdot c$
加法と乗法の閉包 — すべての $a,b\in R$ について、 $a+b\in R$ かつ $a\cdot b\in R$

このような構造のプロトタイプとなっているのは、整数環 $(\mathbb {Z} ,+,\cdot )$ である。

2つの元の積 $a\cdot b$ はしばしば $ab$ と略記される。また、乗法と加法が組み合わさった表記においては、加法が括弧で囲まれていない限りは、乗法の演算が優先される。つまり、 $a+bc+d=a+\left(bc\right)+d$ といった具合である。

元 $a\in R$ の加法の逆元を $-a$ と表記する. さらに, 減算と呼ばれる演算を $a-b=a+\left(-b\right)$ で定義する.

追加の性質

上述の環の公理に加えて、環 $R$ は次のような性質を持ちうる。

$R$ が可換環であるとは、乗法が可換であることをいう: $ab=ba$ (任意の $a,b\in R$ )
が単位元を持つ環（単位的環）であるとは、乗法の単位元が存在することをいう: (任意の )
- さらに、単位元を持つ可換環 $R$ が体であるとは、0 以外の任意の元が乗法の逆元を持つことをいう: 任意の0でない元 $a\in R$ に対して, 元 $b\in R$ で $ab=ba=1$ をみたすものが存在する. このときの $b$ 　を $a$ の逆元と呼び、 $a^{-1}$ と表す。
$R$ が整域であるとは、 $R$ が単位元を持つ可換環であり、次のゼロ乗算ルールをみたすことをいう: 任意の $a,b\in R$ について, $ab=0$ ならば $a=0$ または $b=0$ .

環 $R$ の公理から、次が得られる。

$\left(R,+\right)$ はアーベル群である
$0a=0$ (任意の $a\in R$ )
$a\left(-b\right)=\left(-a\right)b=-\left(ab\right)$ (任意の $a,b\in R$ )
$\left(-a\right)\left(-b\right)=ab\quad$ (任意の $a,b\in R$ )
をの単位元とするとき、
- $\left(-1\right)a=-a\quad$ (任意の $a\in R$ )
- $\left(-1\right)\left(-1\right)=1$
減算の分配法則が成り立つ: $a(b-c)=ab-ac$ (任意の $a,b,c\in R$ )