正の整数

正の整数とは、$x \in \mathbb{Z}$かつ$x \in \mathbb{N}$のときに、$x \neq 0$であり$x>0$を満たすものである。

具体的な数として、1, 2, 3が挙げられる。

公理

1は最小の正の整数である

「すべての空ではない正の整数の集合は最小の整数を含む」というのを、正の整数の性質として仮定した場合、当然正の整数全体に対しても、同様のことが言える。そのとき、「1は最小の正の整数である」という公理を作ることができる。

この公理は整数の離散性を表すための重要な公理である。また、この公理を認めることにより、$n\in\mathbb{Z}$に対して$n<m$を満たす最小のmが確定する。

派生する命題

上記に書いたとおり、この公理を認めることにより、$n\in\mathbb{Z}$に対して$n<m$を満たす最小のmが確定する。

$m>n$は$m - n > 0$である。

$m - n = a$とする場合、$a>0$で最小の数は、上記の公理により1になる。

従って、$m - n > 0$の最小の数は1になる。

このとき、$m - n = 1$ とおける。そのため、任意の数nの次に大きい整数は

$n+1$

となる。このことにより、$b \in \mathbb{Z}$であるbがあり、なおかつ$|b - a| < 1$であるならば、$b = a$となる。

これは、$b - a = c$と置いた場合、$|c| < 1$の範囲は$-1 < c < 1$ となる。このとき、$c \in \Z$ であるとした場合、任意の整数において、次に大きい整数は$c+1$であるわけだから、少なくとも$c < z < c + 1, z \in \mathbb{Z}$を満たすzは存在しない。また、同様に、$c - 1 < z < c$も存在しない。

まとめると、正の整数の範囲、ならびに負の整数の範囲において、 $|b - a| < 1$ を満たす整数は存在しない。しかし、絶対値は0をとることができる。

ならば、$|b - a| < 1$は、実質的に$|b - a| = 0$となる。

0であるということは、同値による引算であるわけだから、$b = a$だということがわかる。

上記の証明からわかるように、$|b| < 1$である正の整数と、負の整数は存在しない。従って、$|b| < 1$が明確な場合は、$b=0$だということがわかる。同時に、$b\neq 0$ であるときは、$|b| \le 1$になる。

0は正の整数か?

　上記の定義において、正の整数において、0は含まれないという定義になっている。しかし、必ずしもこの定義が採用されているわけではない。

　例えば、アンドレ・ヴェイユは、正の有理数を定義する場合、下のような定義を採用している。

　$x \ge 0$

　同様に、負の有理数は下の定義を採用している。

　$x \le 0$

　このとき、0は、正でも負でもあるという扱いになる。この定義を受け入れた場合、数学的帰納法に影響を与える。数学的帰納法の開始が0からの証明になる。

正の整数は非負か?

　正の整数と言えば、非負であると思いがちであるが、非負ではない。非負、というのは正の整数と一致しない。

　まず負の整数を$x \in \mathbb{Z}$かつ$x \in \mathbb{N}$のときに、$x \neq 0$であり$x>0$と定義する。

　このとき、非負は$0 \le x$であり、0を含む。しかし、正の整数の定義上、0は含まれない。従って、非負は正の整数とは一致しない。

　したがって、非負は正の整数ではない。また、同様に、0が正の整数でもあり、負の整数でもあるとした場合、非負は0を除外する。しかし、正の整数は0を含んでいる。やはり矛盾する。