最小公倍数

最大公倍数とは、$a, b \neq 0$のときに、a, bの正の公倍数の中で最小の整数を指す。式に直すと

$x = an, n \in \mathbb{Z} x = bm, m \in \mathbb{Z}$

　が成り立つ最小のxのことを言う。

　記号だと、$\operatorname{lcm}(a, b)$と表記する。

定義の正当化

一番単純な公倍数として$|ab|$を考える。これは必ず公倍数になる。

そして、アルキメデスの公理を認めたさい、$0 < |ab|$の整数は有限である。このとき、仮に$0 < |ab|$の範囲にある整数が存在しないと考える。このとき、一番最初に出てくる公倍数は$|ab|$である。これはa, bが素の場合において成立するが、この性質については後記する。

次に、$0 < |ab|$の範囲に、a, bの公倍数があると考える。このとき、「空ではない整数の集合には必ず最小の整数が存在している」と仮定した。$0 < |ab|$の範囲に公倍数が存在するということは、最小の整数も存在しているということである。従って、公倍数が存在するとき、仮定により、最小の公倍数も存在する。従って、この定義は正当化される。

具体例

$\operatorname{lcm}(12, 16)$のときを考えてみよう。このとき、

• x = 12n
• x = 16m

つまり、$12n = 16m$である整数を探せばよい。このとき、12と16の倍数を羅列すれば

• 12n = 12, 24, 36, 48, 60 ...
• 16m = 16, 32, 48, 54, 70 ...

となる。このとき、xを満たす最小の数は48である。従って、$\operatorname{lcm}(12, 16) = 48$である。