体

体とは、集合に、加法 ($+$) と乗法 ($\cdot$) と呼ばれるその集合上の二つの演算が備わった代数系である。体においては、加法と乗法についての逆元の存在が公理で保証されるため、四則演算を自由に行うことができる（ゼロ除算を除く）。群を集合と一つの演算からなる順序対 $(G,\cdot)$ として捉えることができるように、体も三つ組の順序対 $(F,+,\cdot)$ として捉えることができる。

加法と乗法をもつ集合 $(F,+,\cdot)$ が体であるとは、次の性質を満たすことをいう。以下、台集合 $F$ に加法 "$+$" と乗法 "$\cdot$" が定められているとする。

1. 加法と乗法両方の可換則 — すべての $a, b \in F$ について、$a + b = b + a$ かつ $a\cdot b=b\cdot a$
2. 加法と乗法両方の結合則 — すべての $a, b, c \in F$ について、$(a+b)+c=a+(b+c)$ かつ $(a\cdot b)\cdot c=a\cdot(b\cdot c)$
3. 加法単位元 — 任意の $a \in F$ について $a+0=a=0+a$ となるような、加法単位元と呼ばれる元 $0\in F$ が存在する
4. 加法逆元 — 任意の $a \in F$ について、$a+b=0$ となるような $a$ の加法逆元と呼ばれる元 $b\in F$ が存在する
5. 乗法単位元 — 任意の $a \in F$ について $a \cdot 1=a$ となるような、0 とは異なる、加法単位元とよばれる元 $1\in F$ が存在する
6. 乗法逆元 — 0でない任意の $a \in F$ について、 $a\cdot c=1=c\cdot a$ となるような、$a$の乗法逆元と呼ばれる元 $c\in F$ が存在する
7. 分配法則 — すべての $a, b, c \in F$ について、$a\cdot(b+c)=a\cdot b+a\cdot c$

体は、（乗法単位元としての）1 と乗法逆元をもつ可換環として定義することもできる。

誤解が生じない限り、三つ組 $(F,+,\cdot)$ を単に $F$ と略記することも多い。

2つの元の積 $a\cdot b$はしばしば $ab$と略記される。 また、乗法と加法が組み合わさった表記においては、加法が括弧で囲まれていない限りは、乗法の演算が優先される。つまり、 $a + bc + d = a + \left(bc\right) + d$といった具合である。

任意の $a \in F$について、その加法逆元を $-a$ と表記する。0以外の任意の $a \in F$について、その乗法逆元を $a^{-1}$ と表記する。さらに、減算と呼ばれる演算を $a-b=a+(-b)$ で、除算と呼ばれる演算を $\frac{a}{b}=a\cdot b^{-1}$ ( $b\neq 0$) で定義する。

重要な結果

体は単位環（単位元を持つ環）であるから、以下の性質は単位環のときと同様に成り立つ。

• $(F,+)$ はアーベル群
• $0a = 0$ (任意の $a \in F$)
• $a(-b)=(-a)b=-(ab)$ (任意の $a, b \in F$)
• $(-a)(-b)=ab$ (任意の $a, b \in F$)
• $(-1)a = -a$ (任意の $a \in F$)
• $(-1)(-1)=1$
• 減算の分配法則が成り立つ: $a(b-c)=ab-ac$ (任意の $a, b, c \in F$)

加えて、次が成り立つ:

• $F^*$ を $F$の 0 でない元全体とするとき、$(F^*,\cdot)$ はアーベル群である。
• 任意の体は $\mathbb{Q}$ または $\Z_{p}$ ( $p$はある素数) と体同型な部分体を持つ.

追加の性質

• 体 $F$ が 体 $K$ の部分体であるとは、 $F\subseteq K$ ($F$ は $K$ の部分集合)であり、$F$ の加法と乗法は $K$ の加法と乗法を制限したものであることをいう。$K$ は $F$ の拡大体である、という言い方も頻繁になされる。実はこのとき、$K$ は $F$上のベクトル空間である。

• 体 $F$ が順序体であるとは、$F$ 上の全順序 $\le$ が存在し、任意の $a,b,c \in G$に対して次が成り立つことをいう。
  • $a \le b$ ならば $a + c \le b + c$ (移動不変性)
  • $0\leq a,0\leq b$ ならば $0\le ab$

例

• 通常の和と積の演算により、有理数 ($\mathbb{Q}$)、 代数的数 ($\mathbb{A}$)、実数($\R$)、複素数($\mathbb{C}$) は体である。
• $\mathbb{Q}$ の拡大体。例えば、 $\Q\left[\sqrt2\right]=\left\{a+b\sqrt2\mid a,b\in\Q\right\}$ 。

Related

Elements of a field are the quantities over the vectorspaces are constructed and there are also called the scalars.

In the same branch functions $X\to F$, where $F$ is a field are called scalar fields.

関連項目

• 群
• 環