ラマヌジャンの公式(円周率)

ラマヌジャンの公式(円周率)とは、ラマヌジャンが導いた以下の公式である。
${\cfrac {4}{\pi }}=\sum _{n=0}^{\infty }{\cfrac {(-1)^{n}(4n)!(1123+21460n)}{882^{2n+1}(4^{n}n!)^{4}}}$

計算補助

以下は編集者が考えたもので、正確性を保証するものではありません。ご了承ください。
また、随時編集中で、導入は省いているところがあります。
まず、$A=\sum _{n=0}^{\infty }{\cfrac {(-1)^{n}(4n)!(1123+21460n)}{882^{2n+1}(4^{n}n!)^{4}}}$とおく。 すると$\pi =4A^{-1}$となる。

前項との関係

また、
$A_{k}={\cfrac {(-1)^{k}(4k)!(1123+21460k)}{882^{2k+1}(4^{k}k!)^{4}}}$、
$F(n)=1123+21460n$、
$G(n)=24G(n-1){}_{4n}C_{4n-4}$とおく。(ただし、$G(0)=1$とする。)
この$A_{k}$の分母$P_{k}$、分子$Q_{k}$は、
$P_{k}=882^{2}(4k)^{4}P_{k-1}=199148544k^{4}P_{k-1}$
(ただし、$P_{0}=882$とする。)
$Q_{k}=(-1)^{n}F(k)G(k)$
となる。

分数計算の際の通分

$A_{0}+A_{1}$を考える。
すると$A_{0}+A_{1}={\cfrac {Q_{0}}{P_{0}}}+{\cfrac {Q_{1}}{P_{1}}}$と変形できる。
これを通分すると${\cfrac {{\cfrac {P_{1}}{P_{0}}}Q_{0}+Q_{1}}{P_{1}}}$となる。
ここで、$P_{1}=882^{2}(4)^{4}P_{0}=199148544P_{0}$であることを用いて、
$A_{0}+A_{1}={\cfrac {199148544Q_{0}+Q_{1}}{P_{1}}}$が導ける。
分母の増加割合は変化しないことから、$A_{k}+A_{k+1}={\cfrac {199148544(k+1)^{4}Q_{k}+Q_{k+1}}{P_{k+1}}}$である。