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ネイピア数 (Napier's constant; 英語では、むしろ Euler's number と言うが、オイラーの定数 Euler's constant やオイラー数列と紛らわしい) は、数学定数の一つで、e と書かれる。自然対数の底である[1]

e は無理数であり、超越数である。

  • 十進数: 2.71828182845904523536...
  • 連分数

  • 極限
    • (定義式としても使われる)
    • (p_nはn番目の素数、#は素数階乗)
    • (π(n)は1からnまでの素数の個数)
  • テイラー展開:
  • 総和
    • (B_nはベル数)
  • 総乗
  • 双曲線関数

性質

無理性[2]

e = を満たす自然数 a, b が存在すると仮定すると b!・e は以下のように展開される。

左辺は であるから自然数である。右辺は ( ) 内の b! から までの項は全て自然数であるが、{ } 内の 以降の全ての項の和は、b が1以上であることから

と 1 未満になる。したがって ( ) 内と { } 内を足した右辺は自然数でないことになり、左辺が自然数という結果と矛盾する。

ゆえに を満たす自然数 a, b が存在するという仮定は誤りである。

超越性

暗記

Examples of  mnemonics (Gardner 1959, 1991) include:

"By omnibus I traveled to Brooklyn" (6 digits).

"To disrupt a playroom is commonly a practice of children" (10 digits).

"It enables a numskull to memorize a quantity of numerals" (10 digits).

"I'm forming a mnemonic to remember a function in analysis" (10 digits).

"He repeats: I shouldn't be tippling, I shouldn't be toppling here!" (11 digits).

"In showing a painting to probably a critical or venomous lady, anger dominates. O take guard, or she raves and shouts" (21 digits). Here, the word "O" stands for the number 0.

A much more extensive mnemonic giving 40 digits is

"We present a mnemonic to memorize a constant so exciting that Euler exclaimed: '!' when first it was found, yes, loudly '!'. My students perhaps will compute , use power or Taylor series, an easy summation formula, obvious, clear, elegant!"

関係項目

出典

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