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テイラー展開(テイラーてんかい、英: Taylor expansion)とは、無限回微分可能な関数 f (x) から、テイラー級数(テイラーきゅうすう、英: Taylor series)と呼ばれる、負冪の項を持たない冪級数を得ることを言う。名称は数学者ブルック・テイラーに由来する。

実数または複素数関数の f (x) が 1 変数関数の場合には

ここで n!n階乗ƒ(n)(a)x = a における ƒn 次導関数である(ƒ の 0 次導関数は ƒ 自身である)。また、便宜的に (xa)00! は 1 であると定義する(定義の衝突を避けるならば、単に n = 0 の項を明示的に書き、n = 0 を含めない形で和を取り直せばよい)。この冪級数が元の関数 f (x) に一致するとき、f (x)テイラー展開可能であるという。

多変数関数の場合にも同様の展開法が考えられ、それらは多変数関数のテイラー展開、あるいは単にテイラー展開と呼ばれる。

厳密にはこの展開は x = a の近傍でのみ考えるものであり、x = a におけるテイラー展開、または x = a のまわりでのテイラー展開などという。特に a = 0 における以下の様な展開

マクローリン展開(マクローリンてんかい、英: Maclaurin expansion; 名称は数学者コリン・マクローリンに由来する)と呼ぶ。テイラー展開がある大域的な領域の各点で可能な関数は、その領域において解析的 (analytic) である、またはその領域上の解析関数 (analytic function) であるという。

関数が無限階微分可能であっても、テイラー級数が元の関数とすべての x で一致するとは限らない。一致するかどうかは、テイラーの定理における剰余項 Rn が 0 に収束するかどうかによって判定できる;ここで 剰余項 Rn は、ある c ∈ (a, x) が存在して、

と書ける。または積分を用いて、次のように表せる;

いくつかの重要な関数のテイラー展開を以下に示す。これらはすべて複素解析的な関数であり、複素変数であると考えても成り立つ。

多項式
多項式をマクローリン展開したものは元の多項式自身である。
指数関数自然対数
幾何級数
二項定理
三角関数
双曲線関数
ランベルトのW関数

tan(x), csc(x), cot(x), tanh(x) の展開に現われる Bkベルヌーイ数である。 二項展開の は二項係数である。sec(x) の展開に現われる Ekオイラー数である。

多変数関数のテイラー展開

テイラー展開は 1 変数関数のみならず、多変数関数にも適用できる。d 変数関数 f のテイラー展開は以下の式である。

多重指数記法を用いれば、d 変数関数 f (x) のテイラー展開は次式で表現される。

アインシュタインの縮約記法を用いれば、多変数関数 f (xμ) のテイラー展開は次式である。

上式の μ微分演算子であり、ベクトル解析の記法では に置き換えられる。一番後ろに f (αμ) があるが、これは f (xμ) に左の演算子を作用させてから f (xμ) の引数として αμ を与えることを表していることに注意する。

和算におけるテイラー展開

同時期の鎖国下の日本において、1720年頃に、和算家建部賢弘によってテイラー級数が使用され正 1024 角形のみを用いた 40 桁程度の円周率を導き出している。実質は (sin−1x)2/2 の級数に x = 1/2 を代入したものである。

後に松永良弼はこれをさらに 70 桁台まで飛躍させた。こちらの計算は実質的には sin−1x の級数に x = 1/2 を代入したものである。

分数次のテイラー展開

分数階微積分学の進展にともない「分数次のテイラー展開はどんなものになるのか?」という問が提起され、2007年 Odibat と Shawagfeh がこの問いに答えを出している(Odibat & Shawagfeh 2007)。 これによると、分数次のテイラー展開は以下のように書ける。

ここで、0 < α < 1 は分数の次数 αx+右極限、すなわち x へ正の方向から近づいた場合の極限を表す。

関連項目

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